√(x^2+a^2)の不定積分双曲線関数で置換

\begin{equation}
\int \sqrt{x^2 +a^2} \, dx = \frac{1}{2} \, x \sqrt{x^2 +a^2} +\frac{1}{2} \, a^2 \log \left( x +\sqrt{x^2 +a^2} \right) +C \quad (a > 0)
\end{equation}

アルキメデスの螺旋の長さ - 数式で独楽する
 2002年前期京大理系第4問 - 数式で独楽する
では、
\begin{equation}
\sqrt{x^2 +1}
\end{equation}の定積分を扱っていますが、本稿では不定積分を導出します。代表的なものを2例紹介します。
被積分関数は簡単な形ですが、その内実は非常に曲者です。大学受験の諸氏にとってラスボス的な積分です。

三角関数で置換

こちらで扱います。
√(x^2+a^2)の不定積分正接で置換 - 数式で独楽する

導出

\begin{equation}
I = \int \sqrt{x^2 +a^2} \, dx
\end{equation}において、
\begin{equation}
x = a \sinh t
\end{equation}と置きます。
\begin{eqnarray}
dx &=& a \cosh t \\
\sqrt{x^2 +a^2} &=& \sqrt{a^2 \left( \sinh^2 +1 \right)} \\
&=& a \cosh t
\end{eqnarray}
双曲線関数 - 数式で独楽する
 双曲線関数の微分 - 数式で独楽する
なので、積分は
\begin{eqnarray}
I &=& a^2 \int \cosh^2 t \, dt \\
&=& a^2 \int \frac{\cosh 2t +1}{2} \, dt \\
&=& a^2 \left( \frac{1}{4} \, \sinh 2t +\frac{1}{2} \, t \right) +C' \\
&=& a^2 \left( \frac{1}{2} \, \sinh t \cosh t +\frac{1}{2} \, t \right) +C'
\end{eqnarray}となります。 $C'$ は積分定数です。
双曲線関数の不定積分 - 数式で独楽する
 双曲線関数の倍角の公式 - 数式で独楽する

これより、置換した変数を戻していきます。
\begin{equation}
x = a \sinh t = \frac{a \left( e^t -e^{-t} \right)}{2}
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
\frac{2x}{a} &=& e^t -e^{-t} \\
a \, e^{2t} -2x \, e^t -a &=& 0 \\
e^t &=& \frac{x +\sqrt{x^2 +a^2}}{a} \quad (\because e^t > 0) \\
t &=& \log \frac{x +\sqrt{x^2 +a^2}}{a}
\end{eqnarray}となります。
また、
\begin{eqnarray}
\cosh t &=& \sqrt{1 +\sinh^2 t} \\
&=& \sqrt{1 +\frac{x^2}{a^2}} \\
&=& \frac{x^2 +a^2}{a}
\end{eqnarray}です。

したがって、
\begin{eqnarray}
I &=& \frac{1}{2} \, x \sqrt{x^2 +a^2} +\frac{1}{2} \, a^2 \log \frac{x +\sqrt{x^2 +a^2}}{a} +C' \\
&=& \frac{1}{2} \, x \sqrt{x^2 +a^2} +\frac{1}{2} \, a^2 \log \left( x +\sqrt{x^2 +a^2} \right) +C
\end{eqnarray}となります。真数の分母は対数の引き算になり、積分定数に含まれることになります。