両端を座標軸に固定した線分の包絡線その2

本稿では、直交座標系において長さ1の線分の両端をそれぞれ $x$ 軸、 $y$ 軸に固定した条件で動かしてできる包絡線を求めていきます。

両端をP $(p,0)$ , Q $(0,q)$ とすると、線分PQの式は
\begin{eqnarray}
\frac{x}{p} +\frac{y}{q} &=& 1 \tag{1} \\
p^2 +q^2 &=& 1 \tag{2}
\end{eqnarray}で表すことができます。
なお、

$p = 0$ のとき、 $x = 0$
$q = 0$ のとき、 $y = 0$

とします。

包絡線を求めるにあたって、いくつか考え方があります。
両端を座標軸に固定した線分の包絡線その1 - 数式で独楽する

ここでは、
包絡線の求め方 - 数式で独楽する
で紹介した方法で求めます。

式(1), (2)より、
\begin{equation}
\frac{x}{p} +\frac{y}{\sqrt{1 -p^2}} = 1
\end{equation}と変形し、両辺を $p$ で微分(偏微分)します。
\begin{equation}
-\frac{x}{p^2} +\frac{2py}{2(1 -p^2)^{3/2}} = 0
\end{equation}変形すると、
\begin{eqnarray}
x &=& \frac{p^3 y}{(1 -p^2)^{3/2}} \\
&=& \frac{p^3}{q^3} \, y
\end{eqnarray}となります。

これを式(1)に代入して式(2)を用いると、
\begin{eqnarray}
\frac{p^2}{q^3} \, y +\frac{y}{q} &=& 1 \\
\frac{p^2 +q^2}{q^3} &=& 1
\end{eqnarray}となるので
\begin{equation}
y = q^3 \tag{3}
\end{equation}を得ます。
さらに式(1)～(3)より
\begin{equation}
x = p^3 \tag{4}
\end{equation}も得ます。

式(2)～(4)により $p,q$ を消去できることになります。
したがって点 $(p^3, \ q^3)$ が描く曲線、つまり両端を座標軸に置いて動かした長さ1の線分の包絡線は
\begin{equation}
x^{2/3} +y^{2/3} = 1
\end{equation}となります。