正弦の微分
\begin{equation}
(\sin x)' = \cos x
\end{equation}
本稿では、正弦の微分を求めていきます。
微分の演算にしたがって求めていきます。
\begin{equation}
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \tag{1}
\end{equation}
これを踏まえて、正弦の微分は、
\begin{equation}
(\sin x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\sin (x+h) - \sin x}{h} \tag{2}
\end{equation}となります。
ここで、式(2)に和積の公式を用います。
和積の公式 - 数式で独楽する
\begin{equation}
(\sin x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\displaystyle 2 \cos \left( x + \frac{h}{2} \right) \sin \frac{h}{2}}{h} \tag{3}
\end{equation}
さらに、
\begin{equation}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1
\end{equation}の形に持ち込むために、式(3)を次のように変形します。
(sin x)/xの極限 - 数式で独楽する
\begin{equation}
(\sin x)' = \lim_{h \to 0} \cos \left( x + \frac{h}{2} \right) \cdot \frac{\displaystyle \sin \frac{h}{2}}{\displaystyle \frac{h}{2}} \tag{4}
\end{equation}
よって、式(4)は、
\begin{equation}
(\sin x)' = \cos x
\end{equation}となります。
サインの微分はコサイン
です。
