∫dt/tの性質その6 関連する極限

対数関数を
\begin{equation}
\log x := \int_1^x \frac{dt}{t} \tag{1}
\end{equation}で定義する考え方があります。
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式(1)で定義した関数が、対数関数の性質を持ち、その他の関係を満たしているかどうかを確かめていきます。

本稿はその6つ目です。
関連する極限を見ていきます。

指数関数の極限

まず、 $e^x$ の微分を定義通りに書くと、
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dx}e^x &=& \lim_{h \to 0}\frac{e^{x+h} - e^x}{h} \\
&=& e^x \lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} \tag{2}
\end{eqnarray}です。

一方、指数関数の微分は
\begin{equation}
\frac{d}{dx} e^x = e^x \tag{3}
\end{equation}です。

式(2), (3)を比較すると、
\begin{equation}
e^x \lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} = e^x
\end{equation}です。 $e^x \ne 0$ なので、
\begin{equation}
\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} = 1
\end{equation}となります。変数を入れ替えて、
\begin{equation}
\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1 \tag{4}
\end{equation}を得ます。

式(1)による定義から
ネイピア数関連の極限・指数編 - 数式で独楽する
を導けました。

対数関数の極限

式(4)で
\begin{equation}
t = e^x - 1
\end{equation}とします。このとき、
\begin{equation}
x = \log(1+t)
\end{equation}で、 $x \to 0$ のとき $t \to 0$ です。
よって、
\begin{equation}
\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\log(1 + t)} = 1
\end{equation}です。これより、
\begin{equation}
\lim_{x \to 0} \frac{x}{\log(1 + x)} = 1 \tag{5}
\end{equation}を得ます。

式(1)による定義から
ネイピア数関連の極限・対数編 - 数式で独楽する
を導けました。

ネイピア数の極限

式(5)の逆数をとると、
\begin{equation}
\lim_{x \to 0} \frac{\log (1+x)}{x} = 1
\end{equation}です。
関数logの性質
から、
\begin{equation}
\lim _{x \to 0} \log (1+x)^{\raise{1ex}\hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{1}{x}$}} =1
\end{equation}を得ます。
よって、
\begin{equation}
\lim_{x \to 0} (1+x)^{\raise{1ex}\hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{1}{x}$}} = e \tag{6}
\end{equation}が得られます。

式(6)で $x$ を $\displaystyle \frac{1}{x}$ に置き換えると、
\begin{equation}
\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e \tag{7}
\end{equation}となります。