本稿では、の連分数表記について見ていきます。
まず、次の式をご覧ください。
\begin{equation}
\sqrt{n^2 +1} - n = \frac{1}{\sqrt{n^2 +1} + n} \tag{1}
\end{equation}
式(1)の両辺に2nを加えると、
\begin{equation}
n + \sqrt{n^2 + 1} = 2n + \frac{1}{n + \sqrt{n^2 + 1}} \tag{2}
\end{equation}となります。
ここで、式(2)の右辺に現れたに、式(2)を代入します。
\begin{eqnarray}
n + \sqrt{n^2 + 1} &=& 2n + \frac{1}{n + \sqrt{n^2 + 1}} \\
&=& 2n + \cfrac{1}{2n + \cfrac{1}{n + \sqrt{n^2 + 1}}} \tag{3}
\end{eqnarray}
式(3)の右辺のに、さらに式(2)を代入します。
\begin{equation}
n+ \sqrt{n^2 + 1} = 2n + \cfrac{1}{2n + \cfrac{1}{2n + \cfrac{1}{n + \sqrt{n^2 + 1}}}}
\end{equation}
この操作を繰り返していくと、次のようになります。
\begin{equation}
n+ \sqrt{n^2 + 1} = 2n + \cfrac{1}{2n + \cfrac{1}{2n + \cfrac{1}{2n + \cfrac{1}{\ddots}}}}
\end{equation}
省スペースの書き方では、
\begin{equation}
n + \sqrt{n^2 + 1} = [2n;2n,2n,2n,\cdots]
\end{equation}となります。2nが綺麗に並びました。
以上のことから、の連分数表記は、
\begin{equation}
\sqrt{n^2 + 1} = n + \cfrac{1}{2n + \cfrac{1}{2n + \cfrac{1}{2n + \cfrac{1}{\ddots}}}}
\end{equation}となります。
省スペースの書き方では、
\begin{equation}
\sqrt{n^2 + 1} = [n;2n,2n,2n,\cdots]
\end{equation}となります。
また、循環小数のように、
\begin{equation}
\sqrt{n^2 + 1} = \left[ n; \dot{2n} \right]
\end{equation}と書きます。
の連分数表記は楽です。
