正弦関数のマクローリン展開

マクローリン(Maclaurin)展開
\begin{eqnarray}
f(x) &=& f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots \\
&=& \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
\end{eqnarray}

マクローリン展開 - 数式で独楽する
において、
\begin{equation}
f(x) = \sin x
\end{equation}とすると、 $\sin x$ のマクローリン展開が得られます。

\begin{eqnarray}
(\sin x)' &=& \cos x \\
(\cos x)' &=& -\sin x
\end{eqnarray}
であり、 $\sin x$ は何回でも微分できます。
正弦の微分 - 数式で独楽する
 余弦の微分 - 数式で独楽する
 正弦、余弦の2回微分 - 数式で独楽する

\begin{eqnarray}
\frac{d^{2n}}{dx^{2n}} \sin x &=& (-1)^n \sin x \\
\frac{d^{2n+1}}{dx^{2n+1}} \sin x &=& (-1)^n \cos x
\end{eqnarray}
です。

また、
\begin{eqnarray}
\sin 0 &=& 0 \\
\cos 0 &=& 1
\end{eqnarray}
です。

したがって、 $\sin x$ のマクローリン展開は、
\begin{equation}
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -\cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots
\end{equation}となります。

和の記号で書くと、
\begin{equation}
\sin x = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\end{equation}です。

級数は、 $|x| < \infty$ で収束します。