マクローリン(Maclaurin)の定理
0を含むある区間においてf(x)がn回微分可能であるとする。
この区間においてxを任意の数とするとき、
\begin{equation}
f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n - 1)}(0)}{(n - 1)!}x^{n - 1} + \frac{f^{(n)}(c)}{n!}x^n \qquad (cは0とxの間の数)
\end{equation}を満たすが存在する。
マクローリンの定理 - 数式で独楽する
において、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \frac{f^{(n)}(c)}{n!}x ^n = 0
\end{equation}となる場合を考えてみましょう。
ただし、関数f(x)が何回でも(無限回)微分可能であることが前提です。
この場合、nを大きくしていくと、は0に近付いていきます。
つまり、項をいくらでも増やしていくことで、
\begin{equation}
f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots
\end{equation}と級数で展開することができるようになります。
これを「マクローリン級数」といい、
マクローリン級数に展開することを「マクローリン展開」といいます
和の記号を用いて書くと、f(x)は
\begin{equation}
f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
\end{equation}となります。
