マクローリン(Maclaurin)展開
\begin{eqnarray}
f(x) &=& f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots \\
&=& \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
\end{eqnarray}
マクローリン展開 - 数式で独楽する
において、
\begin{equation}
f(x) = \tan^{-1} x
\end{equation}とすると、のマクローリン展開が得られます。
逆正接関数は、
\begin{equation}
\tan^{-1} x = \int_0^x \frac{dt}{1 + t^2} \tag{1}
\end{equation}で表されます。
逆三角関数の定積分表現 - 数式で独楽する
\begin{equation}
f(x) = \tan^{-1} x
\end{equation}を微分していきます。
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \frac{1}{1 + x^2} \\
f''(x) &=& - \frac{2x}{(1 + x^2)^2} \\
f'''(x) &=& \cdots
\end{eqnarray}
微分が億劫になってきました。
式(1)右辺の積分記号の中を級数展開してみます。
目の付け所は2つあります。
1つ目。
積分される関数は、初項1、公比
の等比級数の和と見ることができます。
等比数列の和と等比級数 - 数式で独楽する
2つ目。
積分される関数をと見て、変数
でマクローリン展開します。
(1+x)のべき乗のマクローリン展開 - 数式で独楽する
どちらを採っても同じ形になります。
\begin{equation}
\frac{1}{1 + t^2} = 1 - t^2 + t^4 - t^6 + \cdots
= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^{2n} \tag{2}
\end{equation}
級数は、で収束します。
なお、
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} -1 \\ n \end{array} \right)
= \frac{(-1)(-2)\cdots (-n)}{n(n -1)\cdots 2 \cdot 1} = (-1)^n
\end{equation}です。
式(2)を式(1)に入れると次のようになります。
\begin{equation}
\tan^{-1} x = \int_0^x ( 1 - t^2 + t^4 - t^6 + \cdots )dt
= \int_0^x \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^{2n} dt
\end{equation}
項別に積分します。
\begin{equation}
\tan^{-1} x = \left[ t - \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} - \frac{t^7}{7} + \cdots \right] _0^x
= \left[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} t^{2n +1} \right] _0^x
\end{equation}
したがって、
\begin{equation}
\tan^{-1} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots
= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} x^{2n +1}
\end{equation}となります。
こちらは、で収束します。
