自然数の2乗の逆数で和をとると、次のようになります。
\begin{equation}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +\cdots = \frac{\pi^2}{6}
\end{equation}
自然数の2乗の逆数の和を求める問題を「バーゼル問題」といいます。
自然数の2乗の逆数の和(バーゼル問題) - 数式で独楽する
ではフーリエ級数展開を用いて求めました。
本稿では、この関係を求めるオイラーによる方法を紹介します。
まず、正弦関数のマクローリン展開は次の通りです。
正弦関数のマクローリン展開 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!} +\cdots
\end{equation}
両辺をで割ると、次のようになります。
\begin{equation}
\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} -\frac{x^6}{7!} +\cdots \tag{1}
\end{equation}
一方、のときに
\begin{equation}
\frac{\sin x}{x} = 0
\end{equation}となるので、は、形式的に
を因数に持つことになります。つまり、
\begin{equation}
\frac{\sin x}{x} = \left( 1 -\frac{x}{1 \pi} \right) \left( 1 +\frac{x}{1 \pi} \right) \left( 1 -\frac{x}{2 \pi} \right) \left( 1 +\frac{x}{2 \pi} \right) \cdots
\end{equation}と書けることになります。ここらへんが、凡人には理解の及ばないところです。
2項ずつまとめると次のようになります。
\begin{equation}
\frac{\sin x}{x} = \left( 1 -\frac{x^2}{1^2 \pi^2} \right) \left( 1 -\frac{x^2}{2^2 \pi^2} \right) \left( 1 -\frac{x^2}{3^2 \pi^2} \right) \cdots \tag{2}
\end{equation}
ここで式(2)を展開し、式(1)のの係数を比較すると、
\begin{equation}
\frac{1}{6} = \frac{1}{1^2 \pi^2} +\frac{1}{2^2 \pi^2} +\frac{1}{3^2 \pi^2} +\cdots
\end{equation}となります。
整理すると、
\begin{equation}
\frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +\cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}
\end{equation}を得ます。
