本稿では、の連分数表記についてアプローチを変えて見ていきます。
まず、次の式をご覧ください。
\begin{eqnarray}
\sqrt{2} - 1 &=& \frac{\left(\sqrt{2} - 1 \right) \left(\sqrt{2} + 1 \right)}{\sqrt{2} + 1} \\
&=& \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \tag{1}
\end{eqnarray}
中学のとき、分母に無理数が来たときは有利化しなさいと習いましたが、ここではその逆を行っています。
ここまでは同じです。
そして、次の式をご覧ください。
\begin{equation}
\sqrt{2} = 1 + \sqrt{2} -1 \tag{2}
\end{equation}
に1を足して引いただけの式です。
式(2)の右辺のに着目し、式(1)を用いると、次のようになります。
\begin{equation}
\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \tag{3}
\end{equation}
式(3)の右辺の分母にを作るため、1を足して引きます。
\begin{equation}
\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \sqrt{2}-1} \tag{4}
\end{equation}
式(4)に式(1)を用います。
\begin{equation}
\sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \sqrt{2}}} \tag{5}
\end{equation}
繰り返します。
\begin{equation}
\sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \sqrt{2}}}} \tag{6}
\end{equation}
さらに繰り返していくと、次のようになります。
\begin{eqnarray}
\sqrt{2} &=& 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}} \tag{6} \\
&=& [1;2,2,\cdots] \\
&=& \left[ 1; \dot{2} \right]
\end{eqnarray}
式の変形が、
ルート2の連分数表記 - 数式で独楽する
とあまり変わりませんね。
