を自然数、
を
とする。このとき
を満たす
の組をすべて求めよ。
解答例
\begin{eqnarray}
\tan 2\beta &=& \frac{2\tan \beta}{1 - \tan^2 \beta} \\
&=& \cfrac{\cfrac{2}{q}}{\ 1 - \cfrac{1}{q^2} \ } \\
&=& \frac{2q}{1 -q^2} \\
&=& \frac{1}{q -1} + \frac{1}{q +1} \tag{1}
\end{eqnarray}より、
\begin{eqnarray}
\tan(\alpha +2\beta) &=& \frac{\tan \alpha + \tan 2\beta}{1 - \tan \alpha \tan 2\beta} \\
&=& \cfrac{\cfrac{1}{p} + \cfrac{1}{q -1} + \cfrac{1}{q +1}}{\ 1 - \cfrac{1}{p} \left( \cfrac{1}{q -1} + \cfrac{1}{q +1} \right) \ } =2 \tag{2}
\end{eqnarray}です。
加法定理・まとめ - 数式で独楽する
倍角の公式 - 数式で独楽する
式(2)より、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{p} + \frac{1}{q -1} + \frac{1}{q +1} &=& 2 -\frac{2}{p} \left( \frac{1}{q -1} + \frac{1}{q +1} \right) \tag{3} \\
\frac{1}{q -1} + \frac{1}{q +1} &=& \cfrac{\ 2 -\cfrac{1}{p} \ }{1 + \cfrac{2}{p}} \\
&=& \frac{2p -1}{p +2} \\
&=& 2 -\frac{5}{p +2} \tag{4}
\end{eqnarray}を得ます。
式(4)は、が増えれば
は減る関係を示しています。
さて、の場合、式(1)~(4)の分母が0となるので、別途考慮する必要があります。
\begin{equation}
\beta = \frac{\pi}{4}, \quad 2\beta = \frac{\pi}{2}
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\tan (\alpha + 2\beta) = \tan \left( \alpha + \frac{\pi}{2} \right) = -\frac{1}{\tan \alpha} = -p = 2
\end{equation}となります。
しかし、は自然数という条件に合いません。
したがって、となります。
仮にとすると、式(3)と
より、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{q -1} + \frac{1}{q +1} &=& \frac{1}{3} \\
q^2 -6q -1 &=& 0 \\
q &=& 3 +\sqrt{10} \tag{5}
\end{eqnarray}となります。
また、とすると、同様に式(3)と
より、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{q -1} + \frac{1}{q +1} &=& 2 \\
q^2 -q -1 &=& 0 \\
q &=& \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \tag{6}
\end{eqnarray}となります。
式(5), (6)より、を1から∞まで変化させたときに
は
\begin{equation}
\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \leqq q \leqq 3 +\sqrt{10}
\end{equation}の範囲を動きます。
したがって、自然数がとり得るのは、
\begin{equation}
q = 2,3,4,5,6
\end{equation}のみということが分かります。
自然数がそれぞれの場合について、式(1), (3)を用いて条件に適合する
が存在するかどうかをみていきます。
の場合
式(1)より
\begin{equation}
\tan 2\beta = 1 +\frac{1}{3} =\frac{4}{3}
\end{equation}です。式(3)に代入して、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{p} + \frac{4}{3} &=& 2\left( 1 + \frac{1}{p} \frac{4}{3} \right) \\
\frac{11}{3} \frac{1}{p} &=& \frac{2}{3} \\
\therefore \quad p &=& \frac{11}{2}
\end{eqnarray}を得ます。このは条件に合いません。
の場合
式(1)より
\begin{equation}
\tan 2\beta = \frac{1}{2} +\frac{1}{4} =\frac{3}{4}
\end{equation}です。式(3)に代入して、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{p} + \frac{3}{4} &=& 2\left( 1 + \frac{1}{p} \frac{3}{4} \right) \\
\frac{5}{2} \frac{1}{p} &=& \frac{5}{4} \\
\therefore \quad p &=& 2
\end{eqnarray}を得ます。このは条件に合います。
の場合
式(1)より
\begin{equation}
\tan 2\beta = \frac{1}{3} +\frac{1}{5} =\frac{8}{15}
\end{equation}です。式(3)に代入して、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{p} + \frac{8}{15} &=& 2\left( 1 + \frac{1}{p} \frac{8}{15} \right) \\
\frac{31}{15} \frac{1}{p} &=& \frac{22}{15} \\
\therefore \quad p &=& \frac{31}{22}
\end{eqnarray}を得ます。このは条件に合いません。
の場合
式(1)より
\begin{equation}
\tan 2\beta = \frac{1}{4} +\frac{1}{6} =\frac{5}{12}
\end{equation}です。式(3)に代入して、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{p} + \frac{5}{12} &=& 2\left( 1 + \frac{1}{p} \frac{5}{12} \right) \\
\frac{11}{6} \frac{1}{p} &=& \frac{19}{12} \\
\therefore \quad p &=& \frac{22}{19}
\end{eqnarray}を得ます。このは条件に合いません。
の場合
式(1)より
\begin{equation}
\tan 2\beta = \frac{1}{5} +\frac{1}{7} =\frac{12}{35}
\end{equation}です。式(3)に代入して、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{p} + \frac{12}{35} &=& 2\left( 1 + \frac{1}{p} \frac{12}{35} \right) \\
\frac{59}{35} \frac{1}{p} &=& \frac{58}{35} \\
\therefore \quad p &=& \frac{59}{58}
\end{eqnarray}を得ます。このは条件に合いません。
以上より、条件を満たすの組は、
\begin{equation}
p=2, \quad q=3
\end{equation}のみとなります。
