ルート3の連分数表記の別アプローチ

本稿では、の連分数表記についてアプローチを変えて見ていきます。

ルート3の連分数表記 - 数式で独楽する

に1を足して引きます。
\begin{equation}
\sqrt{3} = 1 + \sqrt{3} -1
\end{equation}
右辺について、有理化の逆を行います。
\begin{equation}
\sqrt{3} = 1 + \frac{2}{1 + \sqrt{3}} \tag{1}
\end{equation}
分子を無理やり1にします。
\begin{equation}
\sqrt{3} = 1 + \cfrac{1}{\ \cfrac{1 + \sqrt{3}}{2}\ }
\end{equation}
分母の整数部分を出します。
\begin{equation}
\sqrt{3} = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{\sqrt{3} - 1}{2}}
\end{equation}
再び、有理化の逆を行います。
\begin{equation}
\sqrt{3} = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \sqrt{3}}}
\end{equation$
整数部分を出します。
\begin{equation}
\sqrt{3} = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \sqrt{3} - 1}}
\end{equation}
三度、有理化の逆。
\begin{equation}
\sqrt{3} = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{2}{1 + \sqrt{3}}}} \tag{2}
\end{equation}
さて、式(2)に式(1)と同じが登場しました。
後は延々と繰り返していきます。

\begin{eqnarray}
\sqrt{3} &=& 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}} \\
&=& [1;1,2,1,2,\cdots] \\
&=& \left[ 1; \dot{1}, \dot{2} \right]
\end{eqnarray}
となります。