部分積分

部分積分
\begin{equation}
\int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx
\end{equation}

積分される関数に

• 微分すると単純になる関数
• 微分(1回または複数回)しても形が変わらない関数

が含まれている場合、部分積分を行うと簡単な形になることがあります。

冒頭に掲げた式は、積の微分より導くことができます。
積の微分 - 数式で独楽する

積の微分は、
\begin{equation}
(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
\end{equation}となります。

この式を、
\begin{equation}
f'(x)g(x) = (f(x)g(x))' - f(x)g'(x)
\end{equation}と変形し、両辺を積分すると、冒頭の式を得ることができます。
\begin{equation}
\int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx
\end{equation}

定積分についてはこちら。
定積分の部分積分 - 数式で独楽する