定積分の置換積分 - 数式で独楽する

不定積分の置換積分は、
変数xを $x=g(t)$ と置くと
\begin{equation}
\int f(x) dx = \int f(g(t)) \frac{dx}{dt} dt = \int f(g(t)) g'(t) dt
\end{equation}
となるものです。

これに対し、定積分の置換積分は次のようになります。

定積分 $\displaystyle \int_a^b f(x)dx$ において、
変数xをx=g(t)にて変数tに変換でき、
変換xが区間[a, b]を変化するときに変数tも区間 $[\alpha, \beta$ ]を単調に変化し、
かつg'(t)が連続ならば、
\begin{equation}
\int_a^b f(x) dx = \int_\alpha^\beta f(g(t)) g'(t) dt
\end{equation}