指数関数と三角関数の関係

三角関数は、指数関数を用いて表すことができます。

\begin{eqnarray}
\cos x &=& \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \\
\sin x &=& \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}
\end{eqnarray}

この関係は、オイラーの公式
\begin{equation}
e^{ix} = \cos x + i\sin x \tag{1}
\end{equation}
指数関数の級数展開とオイラーの公式 - 数式で独楽する
より導くことができます。

式(1)で、xを-xに置き換えます。
\begin{eqnarray}
\cos (-x) &=&& \cos x \\
\sin (-x) &=&-& \sin x
\end{eqnarray}
なので、式(1)は次のようになります。
\begin{equation}
e^{-ix} = \cos x - i\sin x \tag{2}
\end{equation}

式(1)+式(2)とすると、sin xを消去できます。
\begin{equation}
e^{ix} + e^{-ix} = 2\cos x \tag{3}
\end{equation}

式(1)-式(2)とすると、cos xを消去できます。
\begin{equation}
e^{ix} - e^{-ix} = 2i\sin x \tag{4}
\end{equation}

式(3)(4)より、
\begin{eqnarray}
\cos x &=& \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \\
\sin x &=& \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}
\end{eqnarray}
が得られます。