2001年前期 京大 文系 第5問

平面内ので定められる領域と、中心がPで原点Oを通る円を考える。がに含まれる条件のもとで、Pが動きうる範囲を図示し、その面積を求めよ。

解答例

円の中心Pの座標を、半径をとします。
円の式は
\begin{equation}
(x -p)^2 +(y -q)^2 = r^2 \tag{1}
\end{equation}と表せます。を通るので、式(1)よりは
\begin{equation}
p^2 +q^2 = r^2 \tag{2}
\end{equation}を満たすことが分かります。

がに含まれるとは、のとき
\begin{equation}
-1 \leqq y \leqq 1 \tag{3}
\end{equation}を満たすことです。*1

の場合、式(1)より、
\begin{equation}
y -q = r
\end{equation}なので、式(3)は
\begin{equation}
y = q + r \leqq 1 \tag{4}
\end{equation}となります。
式(2), (4)よりを消去します。
\begin{eqnarray}
p^2 +q^2 &\leqq & (1 -q)^2 \\
p^2 +q^2 &\leqq & 1 -2q +q^2
\end{eqnarray}両辺のも消え、
\begin{equation}
q \leqq -\frac{1}{2} \, q^2 +\frac{1}{2} \tag{5}
\end{equation}を得ます。

同様に、の場合、式(1)より、
\begin{equation}
q -y = r
\end{equation}なので、式(3)は
\begin{equation}
y = q + r \geqq -1 \tag{6}
\end{equation}となります。
式(2), (4)よりを消去します。
\begin{eqnarray}
p^2 +q^2 &\leqq & (1 +q)^2 \\
p^2 +q^2 &\leqq & 1 +2q +q^2 \\
q \geqq \frac{1}{2} \, q^2 -\frac{1}{2} \tag{7}
\end{equation}を得ます。

式(5), (7)より、点Pの動き得る範囲は
\begin{equation}
\frac{1}{2} \, x^2 -\frac{1}{2} \leqq y \leqq -\frac{1}{2} \, x^2 +\frac{1}{2}
\end{equation}となります。
図示すると、次の図の着色部で境界を含みます。
(の部分のみです)

面積は、
\begin{eqnarray}
S &=& 4 \int_0^1 \left( -\frac{1}{2} \, x^2 +\frac{1}{2} \right) \, dx \\
&=& 4 \left[ -\frac{1}{6} \, x^3 +\frac{1}{2} \, x \right]_0^1 \\
&=& \frac{4}{3}
\end{eqnarray}となります。

解説

円の中心が動きうる範囲とあるので、大人しく中心の座標と半径を未知数にします。原点を通るので拘束条件ができます。
領域は[tex x軸]に平行な帯なので、円がこれに入る条件は意外と簡単です。中心±半径がの範囲に入ることでよいです。
中心が動き得る範囲の面積は、基本的な積分問題です。

*1:の両端が軸に平行なので、このような表現になります。