マクローリン(Maclaurin)展開
\begin{eqnarray}
f(x) &=& f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots \\
&=& \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
\end{eqnarray}
代表的な関数の級数展開をまとめます。
指数関数
\begin{eqnarray}
e^x &=& \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \\
&=& 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \qquad (|x| < \infty)
\end{eqnarray}
指数関数のマクローリン展開 - 数式で独楽する
対数関数
\begin{eqnarray}
\log(1+x) &=& \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n - 1} \cdot \frac{x^n}{n} \\
&=& x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \qquad (|x| < 1)
\end{eqnarray}
正弦関数のマクローリン展開 - 数式で独楽する
三角関数
正弦
\begin{eqnarray}
\sin x &=& \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
&=& x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +\cdots \qquad (|x| < \infty)
\end{eqnarray}
正弦関数のマクローリン展開 - 数式で独楽する
余弦
\begin{eqnarray}
\cos x &=& \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} \\
&=& 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} +\cdots \qquad (|x| < \infty)
\end{eqnarray}
余弦関数のマクローリン展開 - 数式で独楽する
逆正接
\begin{eqnarray}
\tan^{-1} x &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} x^{2n +1} \\
&=& x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots \qquad (|x| \le 1)
\end{eqnarray}
逆正接関数の級数展開 - 数式で独楽する
逆正弦
\begin{eqnarray}
\sin^{-1} x &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n (2n +1)} \left( \begin{array}{c} 2n \\ n \end{array} \right) x^{2n+1} \\
&=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n -1)!!}{(2n +1)(2n)!!} x^{2n+1} \\
&=& x + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right) x^3 + \frac{1}{5} \left( \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \right) x^5 + \frac{1}{7} \left( \frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2} \right) x^7 + \cdots \qquad (|x| \le 1)
\end{eqnarray}
逆正弦関数の級数展開 - 数式で独楽する
(1+x)のべき乗
\begin{eqnarray}
(1+x)^r &=& \sum_{n = 0}^{\infty} \left(
\begin{array}{cc}
r \\
n
\end{array}
\right) x^n \\
&=& 1 + rx + \frac{r(r -1)}{2!}x^2 + \frac{r(r -1)(r -2)}{3!}x^3 + \cdots \qquad (|x| < 1)
\end{eqnarray}
(1+x)のべき乗のマクローリン展開 - 数式で独楽する
