\begin{equation}
a^3 - b^3 = 65
\end{equation}を満たす整数の組を全て求めよ。
問題の式は
\begin{equation}
a^3 - b^3 =65 \tag{1}
\end{equation}だけなので、手掛かりがありません。
ですが、もうひとつの条件は整数というのが、強力な拘束条件となっています。
式(1)は
\begin{equation}
(a -b)(a^2 +ab +b^2) = 5 \times 13 \tag{2}
\end{equation}と変形できるので、上手くやれば求められそうです。
しかも、式(2)の右辺は素数の積になっており、組合せはそれほど多くありません。
ここから本題です。
\begin{equation}
a^3 - b^3 =65 \tag{1}
\end{equation}は、次のように変形できます。
\begin{equation}
(a -b)(a^2 +ab +b^2) = 5 \times 13 \tag{2}
\end{equation}
なお、
\begin{equation}
a^2 +ab +b^2 = \left( a +\frac{b}{2} \right) ^2 + \frac{3}{4} \ b^2 \geqq 0
\end{equation}です。等号が成立するのはの場合です。このとき、式(1)は成立しません。
したがって、式(2)を満たすのは以下の4通りとなります。
\begin{equation}
\left \{ \begin{array}{l}
a - b = 5 \\
a^2 +ab +b^2 = 13
\end{array} \right. \tag{3}
\end{equation}
\begin{equation}
\left \{ \begin{array}{l}
a - b = 13 \\
a^2 +ab +b^2 = 5
\end{array} \right. \tag{4}
\end{equation}
\begin{equation}
\left \{ \begin{array}{l}
a - b = 1 \\
a^2 +ab +b^2 = 65
\end{array} \right. \tag{5}
\end{equation}
\begin{equation}
\left \{ \begin{array}{l}
a - b = 65 \\
a^2 +ab +b^2 = 1
\end{array} \right. \tag{6}
\end{equation}
ケース1
\begin{eqnarray}
a - b &=& 5 \tag{3.1} \\
a^2 +ab +b^2 &=& 13 \tag{3.2}
\end{eqnarray}の場合。
式(3.1)を式(3.2)を代入して変形していきます。
\begin{eqnarray}
(b +5)^2 + (b +5)b +b^2 &=& 13 \\
b^2 +10b +25 +b^2 +5b +b^2 &=& 13 \\
3b^2 +15b + 12 &=& 0 \\
b^2 +5b +4 &=& 0 \\
(b +1)(b +4) &=& 0
\end{eqnarray}
これより、
\begin{equation}
b = -1, -4
\end{equation}となります。よっての組として
\begin{equation}
(a,b) = (4, -1), (1, -4)
\end{equation}を得ます。
ケース2
\begin{eqnarray}
a - b &=& 13 \tag{4.1} \\
a^2 +ab +b^2 &=& 5 \tag{4.2}
\end{eqnarray}の場合。
式(4.1)を式(4.2)を代入して変形していきます。
\begin{eqnarray}
(b +13)^2 + (b +13)b +b^2 &=& 5 \\
b^2 +26b +169 +b^2 +13b +b^2 &=& 5 \\
3b^2 +39b + 164 &=& 0 \tag{4.3}
\end{eqnarray}
ところが、全てのに対して
\begin{equation}
3b^2 +39b +164 = 3 \left( b + \frac{13}{2} \right) ^2 +\frac{149}{4} > 0
\end{equation}なので、式(4.3)を満たすは存在しません。
ケース3
\begin{eqnarray}
a - b &=& 1 \tag{5.1} \\
a^2 +ab +b^2 &=& 65 \tag{5.2}
\end{eqnarray}の場合。
式(5.1)を式(5.2)を代入して変形していきます。
\begin{eqnarray}
(b +1)^2 + (b +1)b +b^2 &=& 65 \\
b^2 +2b +1 +b^2 +b +b^2 &=& 65 \\
3b^2 +3b - 64 &=& 0 \tag{5.3}
\end{eqnarray}
式(5.3)の解は
\begin{eqnarray}
b &=& \frac{-3 \pm \sqrt{768}}{6} \\
&=& \frac{-3 \pm 16 \sqrt{3}}{6}
\end{eqnarray}
ですが、整数ではないので不適です。
ケース4
\begin{eqnarray}
a - b &=& 65 \tag{6.1} \\
a^2 +ab +b^2 &=& 1 \tag{6.2}
\end{eqnarray}の場合。
式(6.1)を式(6.2)を代入して変形していきます。
\begin{eqnarray}
(b +65)^2 + (b +65)b +b^2 &=& 1 \\
b^2 +130b +4525 +b^2 +65b +b^2 &=& 1 \\
3b^2 +195b + 4524 &=& 0 \tag{6.3}
\end{eqnarray}
ところが、全てのに対して
\begin{equation}
3b^2 +195b +4524 = 3 \left( b + \frac{65}{2} \right) ^2 +\frac{4521}{4} > 0
\end{equation}なので、式(6.3)を満たすは存在しません。
まとめ
以上をまとめると、式(1)を満たすの組は
\begin{equation}
(a,b) = (4, -1), (1, -4)
\end{equation}です。
