△ABCの頂点A, B, Cおよび重心Gの位置ベクトルをそれぞれ
とすると、
\begin{equation}
\vec{g} = \frac{\vec{a} +\vec{b} +\vec{c}}{3}
\end{equation}
AP, BQは、それぞれ辺BC, CAの中線なので、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AG}} &=& k \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +k \, \overrightarrow{\mathrm{AC}} \tag{1} \\
\overrightarrow{\mathrm{BG}} &=& l \, \overrightarrow{\mathrm{BA}} +l \, \overrightarrow{\mathrm{BC}} \tag{2}
\end{eqnarray}と表すことができます。式(1), (2)の右辺のベクトルは、一次独立です。
式(2)より、を表していきます。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AG}} &=& \overrightarrow{\mathrm{AB}} +\overrightarrow{\mathrm{BG}} \\
&=& \overrightarrow{\mathrm{AB}} -l \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +l \left( \overrightarrow{\mathrm{AC}} -\overrightarrow{\mathrm{AB}} \right) \\
&=& (1 -2l) \overrightarrow{\mathrm{AB}} +l \, \overrightarrow{\mathrm{AC}} \tag{3}
\end{eqnarray}と表すことができます。
は一次独立なので、式(2), (3)より
\begin{eqnarray}
k &=& 1 -2l \\
k &=& l
\end{eqnarray}が同時に成り立ちます。これより
\begin{equation}
k = l = \frac{1}{3}
\end{equation}を得ます。
よって、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AG}} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} +\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{3}
\end{equation}となります。
位置ベクトルで表記すると、
\begin{equation}
\vec{g} -\vec{a} = \frac{\left( \vec{b} -\vec{a} \right) +\left( \vec{c} -\vec{a} \right)}{3}
\end{equation}となります。整理して
\begin{equation}
\vec{g} = \frac{\vec{a} +\vec{b} +\vec{c}}{3} \tag{4}
\end{equation}を得ます。
なお、
- BQとCRの交点
- CRとAPの交点
についても同様のやり方で式(4)を導くことができます。
つまり、3本の中線は1点Gで交わることが分かります。
