双曲線関数の倍角の公式
\begin{eqnarray}
\sinh 2x &=& 2\cosh x \sinh x \\
\cosh 2x &=& 2\cosh^2 x -1 \\
&=& 2\sinh^2 x +1 \\
&=& \cosh^2 x +\sinh^2 x \\
\tanh 2x &=& \frac{2\tanh x}{1 +\tanh^2 x}
\end{eqnarray}
双曲線関数でも、三角関数と同様の倍角の公式が成り立ちます。
もっとも、双曲線関数の引数は角度ではないので「倍角」の表現は適当ではありませんが、便宜上「倍角」としておきます。
双曲線関数を指数関数で表すと、示すことができます。
双曲線関数 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\sinh 2x &=& \frac{e^{2x} -e^{-2x}}{2} \\
&=& \frac{(e^x +e^{-x})(e^x -e^{-x})}{2} \\
&=& 2 \cdot \frac{e^x +e^{-x}}{2} \cdot \frac{e^x -e^{-x}}{x} \\
&=& 2\cosh x \sinh x
\end{eqnarray}
また、
\begin{equation}
\cosh 2x = \frac{e^{2x} +e^{-2x}}{2}
\end{equation}より、
\begin{eqnarray}
\cosh 2x &=& \frac{(e^x +e^{-x})^2 -2}{2} \\
&=& 2\left( \frac{e^x +e^{-x}}{2} \right)^2 -1 \\
&=& 2\cosh^2 x -1 \\
\\
\cosh 2x &=& \frac{(e^x -e^{-x})^2 +2}{2} \\
&=& 2\left( \frac{e^x -e^{-x}}{2} \right)^2 +1 \\
&=& 2\sinh^2 x +1 \\
\\
\cosh 2x &=& \frac{(e^x +e^{-x})^2 +(e^x -e^{-x})^2}{4} \\
&=& \left( \frac{e^x -e^{-x}}{2} \right)^2 +\left( \frac{e^x -e^{-x}}{2} \right)^2 \\
&=& \cosh^2 x +\sinh^2 x
\end{eqnarray}です。
\begin{equation}
\cosh^2 x -\sinh^2 x = 1
\end{equation}を用いて相互に変形できます。
さらに、
\begin{eqnarray}
\tanh 2x &=& \frac{\sinh 2x}{\cosh 2x} \\
&=& \frac{2\cosh x \sinh x}{\cosh^2 x +\sinh^2 x} \\
&=& \frac{2\tanh x}{1 +\tanh^2 x}
\end{eqnarray}となります。
