滋賀大 ?年

整数の数列が
\begin{equation}
(3 + 2i)^n = a_n + b_n i
\end{equation}で定められている。数列の一般項を求めよ。

この問題もオイラーの定理を使うと良いでしょう。
指数関数の級数展開とオイラーの公式 - 数式で独楽する

3+2iを絶対値と偏角を用いて表すと、
\begin{eqnarray}
3 + 2i &=& \sqrt{13} \, e^{i \theta} \\
\tan \theta &=& \frac{2}{3}
\end{eqnarray}となります。

これより、
\begin{eqnarray}
(3 + 2i)^n &=& \sqrt{13}\, ^n \, e^{in \theta} \\
&=& \sqrt{13}\, ^n (\cos n \theta + i \sin n \theta)
\end{eqnarray}を得ます。

一方、
\begin{equation}
(3 + 2i)^n = a_n + b_n i
\end{equation}なので、数列の一般項は、
\begin{eqnarray}
a_n &=& \sqrt{13}\, ^n \cos n \theta \\
b_n &=& \sqrt{13}\, ^n \sin n \theta \\
&& \tan \theta = \frac{2}{3}
\end{eqnarray}となります。

ずいぶん簡潔な形になりました。簡潔すぎて少し怖いです。
漸化式を作って求めることはおそらく出来ると思いますが、複雑な形になると思います。