双曲線関数の加法定理
\begin{eqnarray}
\sinh (x \pm y) &=& \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y \\
\cosh (x \pm y) &=& \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y \\
\tanh (x \pm y) &=& \frac{\tanh x \pm \tanh y}{1 \pm \tanh x \tanh y}
\end{eqnarray}
複号は同順です。
双曲線関数でも、三角関数と同様の加法定理が成り立ちます。
「加法定理」の呼称に「角」は入っておらず、引数が角度であろうがなかろうが関係はありません。
双曲線関数を指数関数で表すと、示すことができます。
双曲線関数 - 数式で独楽する
正弦
右辺から左辺に向かって変形します。
\begin{eqnarray}
\sinh x \cosh y +\cosh x \sinh y &=& \frac{e^x -e^{-x}}{2} \frac{e^y +e^{-y}}{2} +\frac{e^x +e^{-x}}{2} \frac{e^y -e^{-y}}{2} \\
&=& \frac{e^{x +y} -e^{-(x +y)} +e^{x -y} -e^{y -x} +e^{x +y} -e^{-(x +y)} -e^{x -y} +e^{y -x}}{4} \\
&=& \frac{2 \left \{ e^{x +y} -e^{-(x +y)} \right \}}{4} \\
&=& \frac{e^{x +y} -e^{-(x +y)}}{2} \\
&=& \sinh (x +y)
\end{eqnarray}
を
と置き換えると、
\begin{equation}
\sinh x \cosh y -\cosh x \sinh y = \sinh (x -y)
\end{equation}を得ます。
余弦
\begin{eqnarray}
\cosh x \cosh y +\sinh x \sinh y &=& \frac{e^x +e^{-x}}{2} \frac{e^y +e^{-y}}{2} +\frac{e^x -e^{-x}}{2} \frac{e^y -e^{-y}}{2} \\
&=& \frac{e^{x +y} +e^{-(x +y)} +e^{x -y} +e^{y -x} +e^{x +y} +e^{-(x +y)} -e^{x -y} -e^{y -x}}{4} \\
&=& \frac{2 \left \{ e^{x +y} +e^{-(x +y)} \right \}}{4} \\
&=& \frac{e^{x +y} +e^{-(x +y)}}{2} \\
&=& \cosh (x +y)
\end{eqnarray}
を
と置き換えると、
\begin{equation}
\cosh x \cosh y -\sinh x \sinh y = \cosh (x -y)
\end{equation}を得ます。
