奇妙な連立方程式 - 数式で独楽する

\begin{equation}
\left \{ \begin{array}{c}
x^{xy} = y \\
y^{xy} = x^4
\end{array} \right.
\end{equation}を満たす $x,y$ を求めよ。
ただし、 $x > 0, \, y > 0$ とする。

指数が複雑に絡み合う、奇妙な連立方程式です。

指数の $xy$ がややこしいので対数を取ってみます。
\begin{eqnarray}
xy \, \log x &=& \log y \\
xy \, \log y &=& 4 \log x
\end{eqnarray}

辺々相掛けると、 $\log x, \, \log y$ が消滅します。
\begin{equation}
x^2 y^2 = 4
\end{equation}ここで、 $x > 0, \, y > 0$ なので、
\begin{equation}
xy =2 \tag{1}
\end{equation}となります。
元の式に代入します。
\begin{eqnarray}
x^2 &=& y \tag{2} \\
y^2 &=& x^4 \tag{3}
\end{eqnarray}
式(2)の両辺に $x$ を掛けて式(1)を用いると、
\begin{equation}
x^3 = 2
\end{equation}となります。ここでも $x > 0, \, y > 0$ が生きてきて、
\begin{eqnarray}
x &=& 2^{1/3} &=& \sqrt[3]{2} \\
y &=& 2^{2/3} &=& \sqrt[3]{4}
\end{eqnarray}を得ることができます。

不思議な値になりましたが、元の式を確かに満たしています。