\begin{equation}
4^x - 1 = 2^{\raise{1ex}{\mbox{$\scriptsize x - \frac{1}{2}$}}}
\end{equation}を解け。
不思議な形の指数方程式です。
一筋縄では解けなさそうです。
取っ掛かりは、4が2の2乗であることです。
2のxマイナス2分の1乗をどうにかできるかどうかです。
2のxマイナス2分の1乗の部分は、
\begin{equation}
2^{\raise{1ex}{\mbox{$\scriptsize x - \frac{1}{2}$}}} = \frac{2^x}{\sqrt{2}}
\end{equation}と変形できます。
また、
\begin{equation}
4^x = 2^{2x} = (2^x)^2
\end{equation}です。
ここで、
\begin{equation}
t = 2^x
\end{equation}と置くと、元の方程式は次のようになります。
\begin{equation}
t^2 -1 = \frac{t}{\sqrt{2}}
\end{equation}これを解くと、
\begin{equation}
t = \cfrac{\cfrac{1}{\sqrt{2}} \pm \cfrac{3}{\sqrt{2}}}{2}
\end{equation}となりますが、なので複号はプラスのみ採用し、
\begin{equation}
t = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2}
\end{equation}となります。
\begin{equation}
2^x = 2^{\raise{1ex}{\frac{1}{2}}}
\end{equation}なので、
\begin{equation}
x = \frac{1}{2}
\end{equation}となります。
なお、このとき、両辺の値は1になります。
