相加平均または算術平均
単に「平均」と言うときは、相加平均のことをいいます。算術平均ともいいます。
\begin{equation}
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i
\end{equation}で求めます。
要素が2つの場合、
\begin{equation}
\frac{a+b}{2}
\end{equation}です。
相乗平均または幾何平均
相乗平均は、成長率などを気にする場合に用います。幾何平均ともいいます。
\begin{equation}
\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} = \left( \prod_{i=1}^n a_i \right)^{1/n}
\end{equation}で求めます。
積を求め、$n$乗根を出しています。
式中のは積の記号です。記号のすぐ後ろのものの積をとる記号です。
要素が2つの場合、
\begin{equation}
\sqrt{ab}
\end{equation}です。
調和平均
「調和平均」は、率や比の平均が求められている場合に用います。
逆数の算術平均を求め、その逆数をとったものです。
\begin{equation}
\cfrac{1}{\ \cfrac{\cfrac{1}{a_1} + \cfrac{1}{a_2} + \cdots + \cfrac{1}{a_n}}{n} \ } = \cfrac{1}{\ \cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n \cfrac{1}{a_i} }{n} \ }
\end{equation}で求めます。
要素は2つの場合は、
\begin{equation}
\cfrac{1}{\ \cfrac{\cfrac{1}{a} + \cfrac{1}{b}}{2} \ } = \frac{2ab}{a+b}
\end{equation}です。
3つの平均の大小は、別の記事で述べます。
相加平均、相乗平均、調和平均の関係 - 数式で独楽する
