ベクトルの内積

ベクトルを
\begin{equation}
\boldsymbol{a} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\a_n \end{array} \right) , \quad \boldsymbol{b} = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\b_n \end{array} \right)
\end{equation}とするとき、ベクトルの内積は
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} &=& a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \\
&=& \sum_{i=1}^n a_i b_i
\end{eqnarray}と定義します。

アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
を用いると、
\begin{equation}
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i
\end{equation}と表現されます。

ベクトルの大きさと内積の関係

ベクトルのなす角をとします。
両ベクトルを回転させて、
\begin{equation}
\boldsymbol{a} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\0 \end{array} \right), \quad \boldsymbol{b} = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ 0 \\ \vdots \\0 \end{array} \right)
\end{equation}となるようにします。

このとき、
\begin{equation}
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_1 b_1
\end{equation}となります。
一方、
\begin{eqnarray}
a_1 &=& |\boldsymbol{a}| \\
b_1 &=& |\boldsymbol{b}| \cos \theta
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \theta
\end{equation}となります。

また、
\begin{equation}
\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}の場合、\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0
\end{equation}です。