エディントンEddingtonのイプシロン または
レヴィ·チヴィタLevi-Civita記号は、
\begin{equation}
\epsilon_{ijk} = \left \{ \begin{array}{rl}
1 & (i,j,k) = (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) \\
-1 & (i,j,k) = (3,2,1), (2,1,3), (1,3,2) \\
0 & \mbox{otherwise}
\end{array} \right.
\end{equation}を満たすテンソルです。要素が3つあり、3階のテンソルといいます。
成分は3×3×3=27個です。
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号 - 数式で独楽する
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号の性質を紹介していきます。
本稿では、アインシュタインの縮約記法を用います。
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
本稿のは全てクロネッカーのデルタ
クロネッカーのデルタ - 数式で独楽する
です。
\begin{equation}
\epsilon_{ijk} \, \epsilon_{lmk} = \delta_{il} \delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl}
\end{equation}
証明は以下の通りです。
\begin{equation}
\epsilon_{ijk} \, \epsilon_{lmn} = \left| \begin{array}{lll}
\delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\
\delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\
\delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn}
\end{array} \right|
\end{equation}においてとすると、
\begin{equation}
\epsilon_{ijk} \, \epsilon_{lmk} = \left| \begin{array}{lll}
\delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{ik} \\
\delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jk} \\
\delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kk}
\end{array} \right|
\end{equation}となります。
ここで、添字について和を取ることになります。
ところが、値が0になるの場合は考慮する必要がありません。
したがって、
\begin{equation}
\delta_{ik} = \delta_{jk} = \delta_{kl} = \delta_{km} = 0
\end{equation}です。また、
\begin{equation}
\delta_{kk} = 1
\end{equation}です。
よって、
\begin{equation}
\epsilon_{ijk} \, \epsilon_{lmk} = \left| \begin{array}{lll}
\delta_{il} & \delta_{im} & 0 \\
\delta_{jl} & \delta_{jm} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right|
\end{equation}となります。
\begin{eqnarray}
\left| \begin{array}{lll}
\delta_{il} & \delta_{im} & 0 \\
\delta_{jl} & \delta_{jm} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right|
&=& \left| \begin{array}{ll}
\delta_{il} & \delta_{im} \\
\delta_{jl} & \delta_{jm}
\end{array} \right| \\
&=& \delta_{il} \delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl}
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
\epsilon_{ijk} \, \epsilon_{lmk} = \delta_{il} \delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl}
\end{equation}を得ます。
