のとき、
\begin{equation}
z^3 -16z -\frac{100}{z}
\end{equation}の値を求めよ。
答案
求める値を
\begin{equation}
f(z)=z^3 -16z -\frac{100}{z}
\end{equation}とします。
\begin{equation}
z^2 = 8+6i \tag{1}
\end{equation}より、
\begin{eqnarray}
z^2 - 8 &=& 6i \\
(z^2 -8)^2 &=& -36 \\
z^4 -16z +64 &=& -36 \\
z^4 -16z +100 &=& 0 \tag{2}
\end{eqnarray}です。
これより、
\begin{eqnarray}
f(z) &=& \frac{z^4 -16z -100}{z} \\
&=& -\frac{200}{z}
\end{eqnarray}となります。
一方、
\begin{equation}
(3+i)^2 = 8 +6i \tag{3}
\end{equation}なので、
\begin{equation}
z = \pm (3+i)
\end{equation}です。
よって、
\begin{eqnarray}
f(z) &=& \pm \frac{200}{3+i} \\
&=& \pm \frac{200}{10} (3 -i) \\
&=& \pm 20(3 -i)
\end{eqnarray}を得ます。
解説
$z$を求めて馬鹿正直に計算するのは骨が折れます。
少し工夫が必要です。
式(1)より式(2)を導くと、計算は容易になります。
式(1)から式(3)を絞り出せるかが、この問題の肝でしょう。
なので、
\begin{eqnarray}
a^2 - b^2 &=& 8 \\
2ab = -6
\end{eqnarray}となる$a,b$を見つけることが、この問いの鍵となります。
この問いでは、
\begin{eqnarray}
a^2 - b^2 = 8 \\
2ab &=& 6
\end{eqnarray}となる$a,b$を求められればよいので、$(a,b)=(3,1)$となります。
