スカラー$u$のラプラシアンを3次元の極座標(球座標)系$(r, \theta, \phi)$で表すと、次のようになります。
勾配の発散 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
x &=& r \sin \theta \cos \phi \\
y &=& r \sin \theta \sin \phi \\
z &=& r \cos \theta
\end{eqnarray}のとき、
\begin{eqnarray}
\nabla^2 u &=& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\\
&=& \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} + \frac{\cos \theta}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial u} {\partial \theta} + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2} \\
&=& \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \, \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \, \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2}
\end{eqnarray}
3次元の極座標系(球座標系)のラプラシアンは、2次元極座標(円座標)のものを用いて求めることができます。
直交座標系$(x,y,z)$と極座標系$(r, \theta, \phi)$の関係を再掲します。
\begin{eqnarray}
x &=& r \sin \theta \cos \phi \tag{1} \\
y &=& r \sin \theta \sin \phi \tag{2} \\
z &=& r \cos \theta \tag{3}
\end{eqnarray}
ここで
\begin{equation}
x^2 + y^2 = \rho^2 \tag{4}
\end{equation}とすると、
\begin{eqnarray}
x &=& \rho \cos \phi \tag{5} \\
y &=& \rho \sin \phi \tag{6}
\end{eqnarray}です。
また、
\begin{eqnarray}
\rho^2 + z^2 &=& r^2 \tag{7} \\
\rho &=& r \sin \theta \tag{8}
\end{eqnarray}です。
さて、式(4)~(6)より、$(x,y)$は平面の直交座標系で$(\rho, \phi)$は極座標系と見ることができます。したがって、
\begin{equation}
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} =
\frac{\partial^2 u}{\partial \rho^2} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial u}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2} \tag{9}
\end{equation}が成り立ちます。
また、式(7), (3), (8)より、$(\rho, z)$は平面の直交座標系で$(r, \theta)$は極座標系と見ることができます。同様に、
\begin{equation}
\frac{\partial^2 u}{\partial \rho^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} =
\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} \tag{10}
\end{equation}が成り立ちます。
式(9), (10)を辺々相加えると$u_{\rho \rho}$の項が相殺され、
\begin{equation}
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} =
\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial u}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2} \tag{11}
\end{equation}となります。
式(11)には$u_\rho$が残っていますが、
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial \rho} = \frac{\partial u}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial \rho} + \frac{\partial u}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial \rho} \tag{12}
\end{equation}を用いて消去していきます。
式(7)の両辺を$\rho$で偏微分すると、
\begin{eqnarray}
2\rho &=& 2r \, \frac{\partial r}{\partial \rho} \\
\therefore \ \frac{\partial r}{\partial \rho} &=& \frac{\rho}{r} = \sin \theta \tag{13}
\end{eqnarray}を得ます。
また、式(3), (8)より$\rho, \theta$の関係式を作り、$\rho$で偏微分して、
\begin{eqnarray}
\tan \theta &=& \frac{\rho}{z} \\
(1 + \tan^2 \theta) \, \frac{\partial \theta}{\partial \rho} &=& \frac{1}{z} \\
\therefore \ \frac{\partial \theta}{\partial \rho} &=& \frac{1}{z} \cfrac{1}{\ 1+ \cfrac{\rho^2}{z^2} \ } \\
&=& \frac{1}{z} \frac{z^2}{z^2 + \rho^2} \\
&=& \frac{\cos \theta}{r} \tag{14}
\end{eqnarray}を得ます。
よって、式(12)~(14)より、
\begin{equation}
\frac{1}{\rho} \frac{\partial u}{\partial \rho} = \frac{1}{r \sin \theta} \left( \sin \theta \, \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) \tag{15}
\end{equation}を得ます。
式(11), (15)より、
\begin{eqnarray}
\nabla^2 u &=& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\\
&=& \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} + \frac{\cos \theta}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial u} {\partial \theta} + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2} \\
&=& \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \, \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \, \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2}
\end{eqnarray}を得ます。
