京大 2019年 前期 理系 第5問

半径1の球面上の5点は、正方形を底面とする四角錐をなしている。この5点が球面上を動くとき、四角錐の体積の最大値を求めよ。

正方形を定めたとき、点Aを正方形から最も遠い球面上の点に定めれば、四角錐の体積は最大となります。
すなわち、正方形の対角線の交点で正方形をなす平面の垂線を立て、球面との交点のうち遠い方を点Aとします。
このとき、球面を平面で切断すると、断面は図のようになります。

図のように角を定めます。なお、です。*1
このとき、四角錐の高さ、正方形の対角線、正方形の一辺、および底面積は次のようになります。
\begin{eqnarray}
h &=& 1 + \cos \theta \\
\mathrm{B_1 B_3} &=& 2\sin \theta \\
\mathrm{B_1 B_2} &=& \frac{\mathrm{B_1 B_3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \sin \theta \\
S &=& \mathrm{B_1 B_2}^2 = 2 \sin^2 \theta
\end{eqnarray}
したがって、体積は、
\begin{eqnarray}
V = \frac{1}{3} \, Sh &=& \frac{2}{3} \, \sin^2 \theta (1 + \cos \theta) \\
&=& \frac{2}{3} (1 - \cos^2 \theta)(1 + \cos \theta)
\end{eqnarray}となります。
とおくとで、
\begin{eqnarray}
V = V(t) &=& \frac{2}{3} \, (1 - t^2)(1 + t) \\
&=& - \frac{2}{3} (t - 1)(t + 1)^2 \\
V'(t) &=& - \frac{2}{3} \, \left \{ (t + 1)^2 + 2(t - 1)(t + 1) \right \} \\
&=& - \frac{2}{3} \, (t + 1)(3t - 1)
\end{eqnarray}となります。

の増減は次のようになります。
\begin{array}{c|ccccc} \hline
t & 0 & \cdots & \frac{1}{3} & \cdots & 1 \\ \hline
V'(t) && + & 0 & - && \\ \hline
V(t) & \frac{2}{3} & \nearrow & \frac{64}{81} & \searrow & 0 \\ \hline
\end{array}

以上より、の最大値は、
\begin{equation}
V \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} \, \frac{2}{3} \, \left( \frac{4}{3} \right)^2 = \frac{64}{81}
\end{equation}となります。

*1:の場合、点Aは正方形からの距離が最大になりません。