アルキメデスの螺旋
\begin{equation}
r = k \, \theta
\end{equation}の長さは
\begin{equation}
L = \frac{1}{2} \, k \left \{ a \sqrt{a^2 +1} +\log \left( a +\sqrt{a^2 +1} \right) \right \}
\end{equation}です。
偏角方向に、動径方向に
だけ微小に変化したとき、この部分の長さ
は、
\begin{equation}
dl = \sqrt{(dr)^2 +(r \, d\theta)^2}
\end{equation}と表すことができます。
一方、より
\begin{equation}
dr = k \, d\theta
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
dl &=& \sqrt{k^2 +k^2 \, \theta^2} d\theta \\
&=& k \sqrt{1 +\theta^2} d\theta
\end{eqnarray}となります。
したがって、当該部分の長さは
\begin{eqnarray}
L &=& \int_0^L dl \\
&=& k \int_0^a \sqrt{1 +\theta^2} \, d\theta
\end{eqnarray}と表すことができます。
ここで、
\begin{equation}
\theta = \sinh t
\end{equation}と置きます。
\begin{eqnarray}
\sqrt{1 +\theta^2} &=& \sqrt{1 +\sinh^2 t} = \cosh t \\
d\theta &=& \cosh t \, dt
\end{eqnarray}
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
\theta & 0 & \to & a \\ \hline
t & 0 & \to & \sinh^{-1} a \\ \hline
\end{array}なので、
\begin{eqnarray}
L &=& k \int_0^{\sinh^{-1} a} \cosh^2 t \, dt \\
&=& k \int_0^{\sinh^{-1} a} \frac{\cosh 2t +1}{2} \, dt \\
&=& k \left[ \frac{\sinh 2t}{4} +\frac{1}{2} \, t \right]_0^{\sinh^{-1} a} \\
&=& k \left[ \frac{1}{2} \, \sinh t \, \cosh t +\frac{1}{2} \, t \right]_0^{\sinh^{-1} a} \\
&=& \frac{1}{2} \, k \left \{ a \cosh(\sinh^{-1} a) +\frac{1}{2} \, \sinh^{-1} a \right \}
\end{eqnarray}となります。
定積分の置換積分 - 数式で独楽する
双曲線関数の倍角の公式 - 数式で独楽する
さらにとすると、
\begin{eqnarray}
a &=& \sinh u \\
&=& \frac{e^u -e^{-u}}{2}
\end{eqnarray}です。式を整理します。
\begin{eqnarray}
e^{2u} -2a \, e^u -1 &=& 0 \\
e^u &=& a +\sqrt{a^2 +1}
\end{eqnarray}となります。これより
\begin{eqnarray}
u &=& \sinh^{-1} a \\
&=& \log \left( a +\sqrt{q^2 +1} \right) \\
\cosh \left( \sinh^{-1} a \right) &=& \cosh u \\
&=& \sqrt{\sinh^2 u +1} \\
&=& \sqrt{a^2 +1}
\end{eqnarray}を得ます。
よって、求める長さは
\begin{equation}
L = \frac{1}{2} \, k \left \{ a \sqrt{a^2 +1} +\frac{1}{2} \, \log \left( a +\sqrt{a^2 +1} \right) \right \}
\end{equation}となります。
やっていることは、
2002年前期 京大 理系 第4問 - 数式で独楽する
とほとんど同じです。
