3次元円柱座標系の単位ベクトル同士の関係

本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta \\
z &=& z \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の単位ベクトルについて述べます。
極座標 - 数式で独楽する

3次元円柱座標系の単位ベクトル - 数式で独楽する
で、円柱座標系と直交座標系の単位ベクトルの関係
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_r &=& \cos \theta \ \boldsymbol{i} + \sin \theta \ \boldsymbol{j} \\
\boldsymbol{e}_\theta &=& - \sin \theta \ \boldsymbol{i} + \cos \theta \ \boldsymbol{j} \\
\boldsymbol{k} &=& \boldsymbol{k} \tag{2}
\end{eqnarray}を導きましたが、これより次のことが分かります。

単位ベクトル同士の関係

単位ベクトル同士の内積を求めると、式(2)により、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_r \cdot \boldsymbol{e}_\theta &=& 0 \\
\boldsymbol{e}_\theta \cdot \boldsymbol{k} &=& 0 \\
\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{e}_r &=& 0
\end{eqnarray}となります。
これより、単位ベクトルは直交することが分かります。
また、外積を求めると、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_r \times \boldsymbol{e}_\theta &=& (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) \boldsymbol{k} &=& \boldsymbol{k} \\
\boldsymbol{e}_\theta \times \boldsymbol{k} &=& \cos \theta \boldsymbol{i} + \sin \theta \boldsymbol{j} &=& \boldsymbol{e}_r \\
\boldsymbol{k} \times \boldsymbol{e}_r &=& -\sin \theta \boldsymbol{i} + \cos \theta \boldsymbol{j} &=& \boldsymbol{e}_\theta
\end{eqnarray}となります。
これより、は、この順で右手系を為すことが分かります。*1

*1:右手の親指、人差し指、中指を互いに垂直になるように立て、3つのベクトルが親指、人差し指、中指)の順で並べることができる関係にあるとき、このベクトルを「右手系」を為すといいます。