本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \sin \theta \cos \phi \\
y &=& r \sin \theta \sin \phi \\
z &=& r \cos \theta \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$の加速度について述べます。
極座標 - 数式で独楽する
球座標系における位置ベクトル
球座標系における位置ベクトルの表記は、
\begin{equation}
\boldsymbol{r} = r \, \boldsymbol{e}_r \tag{2}
\end{equation}です。
球座標系における速度
球座標系における速度は以下の通りです。
\begin{equation}
\frac{d \boldsymbol{r}}{dt} = \frac{dr}{dt} \, \boldsymbol{e}_r + r \, \frac{d\theta}{dt} \, \boldsymbol{e}_\theta + r \sin \theta \, \frac{d\phi}{dt} \, \boldsymbol{e}_\phi \tag{3}
\end{equation}
3次元球座標系の速度 - 数式で独楽する
球座標系における単位ベクトルの時間微分
式(3)を時間で微分すると加速度が得られます。
途中で単位ベクトルの時間微分が出て来ます。それを求めるため、全微分を出してみます。なお、ここでも単位ベクトルの偏微分を考慮します。
3次元球座標系の単位ベクトルの偏微分 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
d \boldsymbol{e}_r &=& \frac{\partial \boldsymbol{e}_r}{\partial r} \, dr + \frac{\partial \boldsymbol{e}_r}{\partial \theta} \, d\theta + \frac{\partial \boldsymbol{e}_r}{\partial \phi} \, d\phi &=& \boldsymbol{e}_\theta \, d\theta + \sin \theta \, \boldsymbol{e}_\phi \, d\phi \\
d \boldsymbol{e}_\theta &=& \frac{\partial \boldsymbol{e}_\theta}{\partial r} \, dr + \frac{\partial \boldsymbol{e}_\theta}{\partial \theta} \, d\theta + \frac{\partial \boldsymbol{e}_\theta}{\partial \phi} \, d\phi &=& -\boldsymbol{e}_r \, d\theta + \cos \theta \, \boldsymbol{e}_\phi \, d\phi \\
d \boldsymbol{e}_\phi &=& \frac{\partial \boldsymbol{e}_\phi}{\partial r} \, dr + \frac{\partial \boldsymbol{e}_\phi}{\partial \theta} \, d\theta + \frac{\partial \boldsymbol{e}_\phi}{\partial \phi} \, d\phi &=& (- \sin \theta \, \boldsymbol{e}_r - \cos \theta \, \boldsymbol{e}_\theta)\, d\phi
\end{eqnarray}したがって、単位ベクトルの時間微分は、
\begin{eqnarray}
\frac{d \boldsymbol{e}_r}{dt} &=& \frac{d\theta}{dt} \, \boldsymbol{e}_\theta + \sin \theta \, \frac{d\phi}{dt} \, \boldsymbol{e}_\phi \\
\frac{d \boldsymbol{e}_\theta}{dt} &=& -\frac{d\theta}{dt} \, \boldsymbol{e_r} + \cos \theta \, \frac{d\phi}{dt} \, \boldsymbol{e}_\phi \\
\frac{d \boldsymbol{e}_\phi}{dt} &=& (- \sin \theta \, \boldsymbol{e}_r - \cos \theta \, \boldsymbol{e}_\theta) \, \frac{d\phi}{dt}
\end{eqnarray}となります。
球座標系における加速度
これを用い、球座標系における加速度
\begin{eqnarray}
\frac{d^2 \boldsymbol{r}}{dt^2} &=& \frac{d}{dt} \left( \frac{dr}{dt} \, \boldsymbol{e}_r + r \, \frac{d\theta}{dt} \, \boldsymbol{e}_\theta + r \sin \theta \, \frac{d\phi}{dt} \, \boldsymbol{e}_\phi \right) \\
&=& \frac{d^2 r}{dt^2} \, \boldsymbol{e}_r + \frac{dr}{dt} \frac{d \boldsymbol{e}_r}{dt} + \frac{dr}{dt} \frac{d\theta}{dt} \, \boldsymbol{e}_\theta + r \, \frac{d^2 \theta}{dt^2} \, \boldsymbol{e}_\theta + r \, \frac{d\theta}{dt} \frac{d \boldsymbol{e}_\theta}{dt} \\
&& + \frac{d}{dt} \left( r \sin \theta \, \frac{d\phi}{dt} \right) \, \boldsymbol{e}_\phi + r \sin \theta \, \frac{d\phi}{dt} \frac{d \boldsymbol{e}_\phi}{dt} \\
&=& \frac{d^2 r}{dt^2} \, \boldsymbol{e}_r + \frac{dr}{dt} \left( \frac{d\theta}{dt} \, \boldsymbol{e}_\theta + \sin \theta \, \frac{d\phi}{dt} \, \boldsymbol{e}_\phi \right) + \left(
\frac{dr}{dt} \frac{d\theta}{dt} + r \, \frac{d^2 \theta}{dt^2} \right) \, \boldsymbol{e}_\theta \\
&& + r \, \frac{d\theta}{dt} \left( -\frac{d\theta}{dt} \, \boldsymbol{e_r} + \cos \theta \, \frac{d\phi}{dt} \, \boldsymbol{e}_\phi \right) + \frac{d}{dt} \left( r \sin \theta \, \frac{d\phi}{dt} \right) \, \boldsymbol{e}_\phi \\
&& + r\sin \theta \, \frac{d\phi}{dt} \, (- \sin \theta \boldsymbol{e}_r - \cos \theta \, \boldsymbol{e}_\theta) \, \frac{d\phi}{dt} \\
&=& \left( \frac{d^2 r}{dt^2} - r \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2 - r \sin^2 \theta \left( \frac{d\phi}{dt} \right)^2 \right) \, \boldsymbol{e}_r \\
&& + \left( 2 \, \frac{dr}{dt} \frac{d\theta}{dt} + r \, \frac{d^2 \theta}{dt^2} - r \sin \theta \cos \theta \, \left( \frac{d\phi}{dt} \right)^2 \right) \, \boldsymbol{e}_\theta \\
&& + \left( \frac{1}{r \sin \theta} \frac{d}{dt} \left( r^2 \sin^2 \theta \, \frac{d\phi}{dt} \right) \right) \, \boldsymbol{e}_\phi
\end{eqnarray}を得ます。
