△ABCの頂点A, B, C、垂心Hの位置ベクトルをそれぞれ
とすると、
\begin{equation}
\vec{h} = \frac{\vec{a} \, \tan A +\vec{b} \, \tan B +\vec{c} \, \tan C}{\tan A +\tan B +\tan C}
\end{equation}
なお、は角A, B, Cの大きさです。
図において、
\begin{eqnarray}
\mathrm{AP} &=& \mathrm{BP} \tan B &=& \mathrm{CP} \tan C \\
\mathrm{BQ} &=& \mathrm{C Q} \tan C &=& \mathrm{AQ} \tan A \\
\mathrm{CR} &=& \mathrm{AR} \tan A &=& \mathrm{BR} \tan B
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
\mathrm{AR:RB} &=& \tan B : \tan A \\
\mathrm{BP:PC} &=& \tan C : \tan B \\
\mathrm{C Q:QA} &=& \tan A : \tan C
\end{eqnarray}となります。
チェバの定理の逆と交点の位置ベクトル - 数式で独楽する
により、
\begin{equation}
\vec{h} = \frac{\vec{a} \, \tan A +\vec{b} \, \tan B +\vec{c} \, \tan C}{\tan A +\tan B +\tan C}
\end{equation}となります。
こちらも係数の和が1になっています。
角の正接が出て来る、美しい形です。
3点で定まる平面上の点の位置ベクトル - 数式で独楽する
