△ABCに対し辺AB上に点Pを、辺BC上に点Qを、辺CA上に点Rを、頂点とは異なるようにとる。この3点がそれぞれの辺を動くとき、この3点を頂点とする三角形はどのような範囲を動くか図示せよ。
解答例
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AB}} &=& 3 \, \vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{AC}} &=& 3 \, \vec{c}
\end{eqnarray}とします。
△ABCの辺上の点P, Q, Rは、を用いて
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} &=& 3p \, \vec{b} & \ (0 < p < 1) \\
\overrightarrow{\mathrm{AQ}} &=& 3(1 -q) \, \vec{b} +3q \, \vec{c} & \ (0 < q < 1) \\
\overrightarrow{\mathrm{AR}} &=& 3(1 -r) \, \vec{c} & \ (0 < r < 1)
\end{eqnarray}と表現できます。
△PQRの重心G'は、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AG'}} = \overrightarrow{g'} &=& \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{\mathrm{AP}} +\overrightarrow{\mathrm{AQ}} +\overrightarrow{\mathrm{AR}} \right) \\
&=& (1 +p -q) \, \vec{b} +(1 +q -r) \, \vec{c} \\
&=& \left( \vec{b} +\vec{c} \right) +(p -q) \, \vec{b} +(q -r) \, \vec{c}
\end{eqnarray}となります。
△ABCの重心G
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AG}} = \vec{g} = \vec{b} +\vec{c}
\end{equation}を用いると、
\begin{equation}
\overrightarrow{g'} =\vec{g} +(p -q) \, \vec{b} +(q -r) \, \vec{c} \tag{1}
\end{equation}となります。
ここで、
- 辺ABを3等分する点をH, I
- 辺BCを3等分する点をJ, K
- 辺CAを3等分する点をL, M
とします。このとき、次のようになります。
\begin{eqnarray}
\mathrm{LK} & \parallel & \mathrm{MJ} & \parallel & \mathrm{AB} \\
\mathrm{HM} & \parallel & \mathrm{IL} & \parallel & \mathrm{BC} \\
\mathrm{JI} & \parallel & \mathrm{KH} & \parallel & \mathrm{CA}
\end{eqnarray}
HJ, IL, HKは重心Gで交わります。
\begin{eqnarray}
\mathrm{GJ} &=& \mathrm{G M} &=& \mathrm{LK} &=& \frac{1}{3}\, \mathrm{AB} \\
\mathrm{GI} &=& \mathrm{GL} &=& \mathrm{HM} &=& \frac{1}{3}\, \mathrm{BC} \\
\mathrm{GH} &=& \mathrm{GK} &=& \mathrm{JI} &=& \frac{1}{3}\, \mathrm{CA}
\end{eqnarray}
または
の場合
式(1)を
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{GG'}} = (p -q) \overrightarrow{\mathrm{GJ}} +(q -r) \overrightarrow{\mathrm{GK}}
\end{equation}と変形します。
\begin{eqnarray}
-1 &<& p -q < 1 \\
-1 &<& q -r < 1 \\
-1 &<& p -r < 1 \\
&&(\because (p -q) +(q -r) = p -r)
\end{eqnarray}なので、G'は△GJK, △GMHの内部とJK, HM上を動きます。
または
の場合
式(1)を
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{GG'}} = (r -p) \overrightarrow{\mathrm{GM}} +(q -r) \overrightarrow{\mathrm{GL}}
\end{equation}と変形します。
\begin{eqnarray}
-1 &<& r -p < 1 \\
-1 &<& q -r < 1 \\
-1 &<& q -p < 1 \\
&&(\because (r -p) +(q -r) = q -p)
\end{eqnarray}なので、G'は△GLM, △GIJの内部とIL, JM上を動きます。
または
の場合
式(1)を
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{GG'}} = (p -q) \overrightarrow{\mathrm{GI}} +(r -p) \overrightarrow{\mathrm{GH}}
\end{equation}と変形します。
\begin{eqnarray}
-1 &<& p -q < 1 \\
-1 &<& r -p < 1 \\
-1 &<& r -q < 1 \\
&&(\because (p -q) +(r -p) = r -q)
\end{eqnarray}なので、G'は△GHI, △GKLとIL, HK上を動きます。
以上をまとめると、G'は六角形HIJKLMの内部を動きます。
ただし、辺は除きます。
図示すると下の図の薄い赤で着色した部分です。赤太線は含みません。
解説
△PQRの重心は簡単に表現できます。ですが、そこから先が問題です。
3点P, Q, Rはそれぞれの辺上を自由に動けるので、重心の動く範囲を評価しづらくなっています。
本稿では式(1)に着目し、適当な条件をつけると重心は2ベクトルが作る三角形の内部を動くことを示しています。
他の条件も漏れなく重複なく設定すると同様にでき、重心は三角形の内部を動きます。
全ての条件をまとめると、六角形になります。
