△ABCを点Xが分割しています。点Xの位置ベクトル
がA, B, Cの位置ベクトル
を用いて、
\begin{equation}
\vec{x} = \frac{p \, \vec{a} +q \, \vec{b} +r\, \vec{c}}{p +q +r}
\end{equation}と表されるとき、
\begin{equation}
\mathrm{\triangle XBC : \triangle XCA : XAB} = p : q : r
\end{equation}となります。ただし、点Xと頂点Aの間に辺BCがある場合は面積
は負とします。
についても同様で、記号の読み替えは次の通りです。
頂点 辺 面積 A BC B CA C AB
三角形を3分割する点の位置ベクトル - 数式で独楽する
の逆です。
\begin{equation}
\vec{x} = \frac{p \, \vec{a} +q \, \vec{b} +r\, \vec{c}}{p +q +r}
\end{equation}を変形させます。
\begin{eqnarray}
p \, \vec{a} +q \, \vec{b} +r \, \vec{c} &=& (p +q +r) \, \vec{x} \\
p \, (\vec{a} -\vec{x}) +q \, \left( \vec{b} -\vec{x} \right) +r \, (\vec{c} -\vec{x} ) &=& \vec{0}
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
p \, \overrightarrow{\mathrm{XA}} +q \, \overrightarrow{\mathrm{XB}} +r \, \overrightarrow{\mathrm{XC}} = \vec{0}
\end{equation}となります。
以下、
ベクトルによる三角形の3分割 - 数式で独楽する
と同じで、
\begin{equation}
\mathrm{\triangle XBC : \triangle XCA : XAB} = p : q : r
\end{equation}を得ます。
