△ABCの頂点A, B, C、外心Pの位置ベクトルをそれぞれ
とすると、
\begin{equation}
\vec{p} = \frac{\vec{a} \, \sin 2A +\vec{b} \, \sin 2B +\vec{c} \, \sin 2C}{\sin 2A +\sin 2B +\sin 2C}
\end{equation}
なお、は角A, B, Cの大きさです。
三角形の各頂点は外接円の円周角であり、外心が対辺を見込む角は円周角の2倍です。
円周角の定理 - 数式で独楽する
外接円の半径をとすると、
\begin{eqnarray}
\triangle \mathrm{PB C} &=& \frac{1}{2} \, R^2 \sin 2A \\
\triangle \mathrm{PCA} &=& \frac{1}{2} \, R^2 \sin 2B \\
\triangle \mathrm{PAB} &=& \frac{1}{2} \, R^2 \sin 2C
\end{eqnarray}です。
三角形を3分割する点の位置ベクトル - 数式で独楽する
より、
\begin{equation}
\vec{p} = \frac{\vec{a} \, \sin 2A +\vec{b} \, \sin 2B +\vec{c} \, \sin 2C}{\sin 2A +\sin 2B +\sin 2C}
\end{equation}となります。
こちらも係数の和が1になっています。
倍角の正弦が出て来る、美しい形です。
3点で定まる平面上の点の位置ベクトル - 数式で独楽する
