京大 2013年前期理系第4問 - 数式で独楽する

$\displaystyle - \frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ における $\cos x + \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} \, x^2$ の最大値を求めよ。ただし、 $\pi > 3.1$ および $\sqrt{3} > 1.7$ が成り立つことは証明なしに用いてよい。

微分の学習を始めた頃に必ずやる、関数の増減に関する問題です。
型通りに導関数を求めていけば、解くことができそうです。
ですが問題文を読むと、一癖も二癖もありそうな感じがします。

では、いきましょう。

\begin{equation}
f(x) = \cos x + \frac{\sqrt{3}}{4} \, x^2
\end{equation}とします。
この関数は $f(-x)=f(x)$ を満たすので偶関数です。
したがって $0 \leqq x \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}$ で考えればよいことになります。

\begin{eqnarray}
f'(x) &=& - \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \, x \\
f''(x) &=& - \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{eqnarray}なので、 $f'(x)$ の増減は次のようになります。*1
\begin{array}{c|ccccc}
\hline
x & 0 & \cdots & \frac{\pi}{6} & \cdots & \frac{\pi}{2} \\ \hline
f''(x) & & - & 0 & + & \\ \hline
f'(x) & 0 & \searrow & & \nearrow & \frac{-4 + \sqrt{3} \, \pi}{4} \\ \hline
\end{array}
ここで、
\begin{equation}
\frac{-4 + \sqrt{3} \, \pi}{4} > \frac{-4 +1.7 \times 3.1}{4} = \frac{1.27}{4} > 0
\end{equation}であるので、 $f'(x)$ は $\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ で負から正に転じることが分かります。*2

したがって、 $f(x)$ の増減は、次のようになります。
\begin{array}{c|ccccccc}
\hline
x & 0 & \cdots & \frac{\pi}{6} & \cdots & & \cdots & \frac{\pi}{2} \\ \hline
f'(x) & 0 & - & & - & 0 & + & \\ \hline
f(x) & 1 & \searrow & & \searrow & & \nearrow & \\ \hline
\end{array}
ここで、
\begin{eqnarray}
f(0) &=& 1 \\
f \left( \frac{\pi}{2} \right) &=& 0 + \frac{\sqrt{3}}{4} \frac{\pi^2}{4} > \frac{1.7}{4} \times \frac{3.1^2}{4} = \frac{16.337}{16} > 1
\end{eqnarray}です。*3
よって、設問の関数が偶関数であることを踏まえ、求める最大値は
\begin{equation}
f \left( \pm \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\sqrt{3} \, \pi^2}{16}
\end{equation}となります。