2023年阪大理系第3問 - 数式で独楽する

Pを座標平面上の点とし、点Pの座標を $(a,b)$ とする。 $-\pi \leqq t \leqq \pi$ の範囲にある実数 $t$ のうち、曲線 $y = \cos x$ 上の点 $(t, \ \cos t)$ における接線が点Pを通るという条件をみたすものの個数を $N(\mathrm{P})$ とする。 $N(\mathrm{P}) = 4$ かつ $0 < a < \pi$ をみたすような点Pの存在範囲を座標平面上に図示せよ。

解答例
解説

解答例

\begin{equation}
y = \cos x
\end{equation}より
\begin{equation}
y' = -\sin x
\end{equation}なので、曲線上の点 $(t, \ \cos t)$ における接線は、
\begin{equation}
y = -(\sin t)(x -t) +\cos t
\end{equation}です。
この接線が点P $(a,b)$ を通るので、
\begin{equation}
b = -(\sin t)(a -t) +\cos t \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。

ここで、 $N(\mathrm{P}) = 4$ 、つまり式(1)を満たす $t \in [ -\pi , \ \pi ]$ が4つになる条件を考えていきます。
\begin{equation}
f(t) = \cos t - (a -t)\sin t
\end{equation}とします。 $tu$ 平面上の曲線 $u = f(t)$ と直線 $u = b$ の交点の数が4つになる条件を考えることになります。
\begin{eqnarray}
f'(t) &=& -\sin t +\sin t -(a -t)\cos t \\
&=& (t -a) \cos t
\end{eqnarray}なので、 $f(t)$ の増減と $N(\mathrm{P}) = 4$ は次のように分類されます。

(i) $0 < a < \displaystyle \frac{\pi}{2}$ の場合
\begin{array}{|c|ccccccccccc|}
\hline
t & -\pi & \cdots & -\frac{\pi}{2} & \cdots & 0 & \cdots & a & \cdots & \frac{\pi}{2} & \cdots & \pi \\ \hline
f'(t) & + & + & 0 & - & - & - & 0 & + & 0 & - & - \\ \hline
f(t) & -1 & \nearrow & \frac{\pi}{2} +a & \searrow & 1 & \searrow & \cos a & \nearrow & \frac{\pi}{2} -a & \searrow & -1 \\ \hline
\end{array}
$N(\mathrm{P}) = 4$ となるのは
\begin{equation}
\cos a < b < \frac{\pi}{2} -a \tag{2}
\end{equation}です。

(ii) $a = \displaystyle \frac{\pi}{2}$ の場合
\begin{array}{|c|ccccccccc|}
\hline
t & -\pi & \cdots & -\frac{\pi}{2} & \cdots & 0 & \cdots & a = \frac{\pi}{2} & \cdots & \pi \\ \hline
f'(t) & + & + & 0 & - & - & - & 0 & - & - \\ \hline
f(t) & -1 & \nearrow & \pi & \searrow & 1 & \searrow & 0 & \searrow & -1 \\ \hline
\end{array}
$N(\mathrm{P}) = 4$ となる $b$ は存在しません。

(iii) $\displaystyle \frac{\pi}{2} < a <\pi$ の場合
\begin{array}{|c|ccccccccccc|}
\hline
t & -\pi & \cdots & -\frac{\pi}{2} & \cdots & 0 & \cdots & \frac{\pi}{2} & \cdots & a & \cdots & \pi \\ \hline
f'(t) & + & + & 0 & - & - & - & 0 & + & 0 & - & - \\ \hline
f(t) & -1 & \nearrow & \frac{\pi}{2} +a & \searrow & 1 & \searrow & \frac{\pi}{2} -a & \nearrow & \cos a & \searrow & -1 \\ \hline
\end{array}
極小値 $\displaystyle \frac{\pi}{2} -a$ と-1の大小を踏まえ、さらに分割します。
(iii)-a. $\displaystyle \frac{\pi}{2} < a \leqq \frac{\pi}{2} +1$ の場合
$N(\mathrm{P}) = 4$ となるのは
\begin{equation}
\frac{\pi}{2} -a < b < \cos a \tag{3}
\end{equation}です。