楕円の接線を表す式 - 数式で独楽する

\begin{equation}
\frac{x^2}{a_2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \tag{1}
\end{equation}で表される楕円 $C$ 上の点P $(x_0, \ y_0)$ で引いた接線の方程式は、
\begin{equation}
\frac{x_0 \, x}{a^2} + \frac{y_0 \, y}{b^2} = 1 \tag{2}
\end{equation}である。

式(1)で表される楕円の接線について考察します。
2定点までの距離の和が一定の点の集合 - 数式で独楽する
 楕円の各要素の関係 - 数式で独楽する

微分を用いる
円の接線より求める

微分を用いる

微分をすると接線の傾きを得ることができます。
微分について - 数式で独楽する
式(1)を微分すると、
\begin{equation}
\frac{x \, dx}{a^2} + \frac{y \, dy}{b^2} = 0
\end{equation}なので、点P $(x_0, \ y_0)$ における接線の傾きは、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2}{a^2} \frac{x_0}{y_0}
\end{equation}となります。
これより、接線の方程式は、
\begin{equation}
y - y_0 = -\frac{b^2}{a^2} \frac{x_0}{y_0} \, (x - x_0)
\end{equation}となります。
整理すると、
\begin{equation}
\frac{x_0 \, x}{a^2} + \frac{y_0 \, y}{b^2} = \frac{{x_0}^2}{a_2} + \frac{{y_0}^2}{b^2} \tag{3}
\end{equation}です。
点P $(x_0, \ y_0)$ は楕円 $C$ 上の点なので、
\begin{equation}
\frac{{x_0}^2}{a_2} + \frac{{y_0}^2}{b^2} = 1 \tag{4}
\end{equation}が成り立ちます。
式(3), (4)より、接線の方程式は、
\begin{equation}
\frac{x_0 \, x}{a^2} + \frac{y_0 \, y}{b^2} = 1 \tag{2}
\end{equation}となります。

なお、途中まで黙って $y_0 \ne 0$ としていますが、式(2)は $y_0=0$ でも成り立ちます。 $y_0=0$ の場合、接線は $x=\pm a$ となります。

円の接線より求める

\begin{equation}
x^2 + y^2 = a^2
\end{equation}で表される円周上の点 $(x_0, \ y_0)$ における円の接線は、
\begin{equation}
x_0 \, x + y_0 \, y = a^2
\end{equation}です。

座標平面において $y$ 軸を $\displaystyle \frac{a}{b}$ 倍とすると、
\begin{equation}
\frac{x^2}{a_2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \tag{1}
\end{equation}で表される円周 $C$ 上の点P $(x_0, \ y_0)$ で引いた接線の方程式は、
\begin{equation}
\frac{x_0 \, x}{a^2} + \frac{y_0 \, y}{b^2} = 1 \tag{2}
\end{equation}となります。