\begin{equation}
x^2 + y^2 = r^2 \tag{1}
\end{equation}で表される円周上の点P
で引いた接線の方程式は、
\begin{equation}
x_0 \, x + y_0 \, y = r^2 \tag{2}
\end{equation}である。
式(1)で表される円の接線について考察します。
接線は半径と直交することから求める
接線は半径と直交するので、接線の傾きはです。
接線は点Pを通るので、接線の式は、
\begin{equation}
y - y_0 = -\frac{x_0}{y_0}(x - x_0)
\end{equation}で表すことができます。
分母を払って整理すると、
\begin{equation}
x_0 \, x + y_0 \, y = {x_0}^2 + {y_0}^2 \tag{3}
\end{equation}となります。
点Pは
\begin{equation}
x^2 + y^2 = r^2 \tag{1}
\end{equation}上の点なので、
\begin{equation}
{x_0}^2 + {y_0}^2 = r^2 \tag{4}
\end{equation}が成り立ちます。
式(3), (4)より、接線の方程式は、
\begin{equation}
x_0 \, x + y_0 \, y = r^2 \tag{2}
\end{equation}となります。
なお、途中まで黙ってとしていますが、式(2)は
でも成り立ちます。
の場合、接線は
となります。
微分を用いる
微分をすると接線の傾きを得ることができます。
微分について - 数式で独楽する
式(1)を微分すると、
\begin{equation}
x \, dx + y \, dy = 0
\end{equation}なので、点Pにおける接線の傾きは、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = -\frac{x_0}{y_0}
\end{equation}となります。
以下、前の項と同様です。
ベクトルを用いて求める
接線上の点をQとします。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OP}} &=& (x_0, \ y_0) \\
\overrightarrow{\mathrm{PQ}} &=& (x - x_0, \ y - y_0)
\end{eqnarray}は直交するので、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}} = x_0 (x - x_0) + y_0 (y - y_0) = 0
\end{equation}を満たします。
整理すると
\begin{equation}
x_0 \, x + y_0 \, y = {x_0}^2 + {y_0}^2 \tag{3}
\end{equation}となり、
\begin{equation}
{x_0}^2 + {y_0}^2 = r^2 \tag{4}
\end{equation}を用いて
\begin{equation}
x_0 \, x + y_0 \, y = r^2 \tag{2}
\end{equation}を得ます。
中心が原点にない円についてはこちら。
円の接線を表す式 その2 - 数式で独楽する
