円に内接する四角形ABPCは次の条件を満たすとするかも
このとき、ベクトル(イ) 三角形ABCは正三角形である。
(ロ) APとBCの交点は線分BCを
の比に内分する。
を
を用いて表せ。
解答例
円の中心に対するA, B, C, Pの位置ベクトルをそれぞれとします。大きさを1としても一般性を失いません。
条件(イ)により、
\begin{eqnarray}
\vec{c} &=& -\vec{a} -\vec{b} \tag{1} \\
\vec{a} \cdot \vec{b} &=& -\frac{1}{2} \tag{2}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
また、条件(ロ)により、実数を用いて、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} = k(1 -p) \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +kp \, \overrightarrow{\mathrm{AC}} \tag{3}
\end{equation}と表すことができます。
式(1), (3)により、
\begin{eqnarray}
\vec{p} -\vec{a} &=& k(1 -p) \left( \vec{b} -\vec{a} \right) +kp (\vec{c} -\vec{a}) \\
&=& k(1 -p) \left( \vec{b} -\vec{a} \right) +kp \left( -2\vec{a} -\vec{b} \right)
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
\vec{p} &=& \{ 1-k(1 -p -2kp) \} \, \vec{a} +\{ k(1 -p) -kp \} \, \vec{b} \\
&=& (1 -k -kp) \, \vec{a} +(k -2kp) \, \vec{b}
\end{eqnarray}となります。
式(2)を用いると、の大きさは
\begin{eqnarray}
\left| \vec{p} \right|^2 &=& (1 -k -kp)^2 +(k -2kp)^2 -(1 -k -kp)(k -2kp) \\
&=& 1 +k^2 +k^2 p^2 -2k -2kp +2k^2 p \\
&& +k^2 -4k^2 p +4k^2 p^2 \\
&& -k +k^2 +k^2 p +2kp -2k^2 p -2k^2 p^2 \\
&=& 1 -3k +3k^2 -3k^2 p +3k^2 p^2
\end{eqnarray}となりますが、大きさは1なので、
\begin{equation}
1 -3k +3k^2 -3k^2 p +3k^2 p^2 = 1
\end{equation}が成り立ちます。
を踏まえて整理すると、
\begin{eqnarray}
3k^2 p^2 -3k^2 p +3k^2 -3k &=& 0 \\
kp^2 -kp +k -1 &=& 0 \\
\therefore \quad k &=& \frac{1}{p^2 -p +1} \tag{4}
\end{eqnarray}を得ます。
なお、
\begin{equation}
p^2 -p +1 = \left( p -\frac{1}{2} \right)^2 +\frac{3}{4} > 0
\end{equation}です。
以上、式(3), (4)により、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \frac{(1 -p) \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +p \, \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{p^2 -p +1}
\end{equation}となります。
解説
三角形ABCは正三角形なので、重心(兼、外心)を基準の位置ベクトルを定めます。あとは条件を数式に落とし込んで力押しです。
