双曲線状の鏡 その2

双曲線の焦点には次のような性質があります。

双曲線状の鏡がある。
一方の焦点から光を発すると、もう一方の焦点から発したように見える。

幾何学的に言い換えると、次のようになります。

双曲線上の点Pと焦点F, F'について、線分FP, F'Pはそれぞれ点Pにおける双曲線の接線と等しい角をなす。

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では、このことを代数的に導きましたが、本稿では視点を変えて考えていきます。

まず、

• F, F' : 双曲線の焦点
• A, B : 双曲線の頂点
• O : 線分FF'の中点(線分ABの中点)
• P : 双曲線上の任意の点

とします。式で書くと、

|FP - F'P| = OA = OB　(1)
OF = OF'　(2)

です。

ここで、

• 線分F'P上にPQ = PF (式(3))となる点Q
• F'Q∥OH (式(4))となる線分FQ上の点H

を定めます。
すると、式(1), (3)より、

F'Q = 2 OA　(5)

となります。

式(4)より△FF'Q∽△FOHで、式(2), (5)の関係もあるので、

FH = QH　(6)
OH = OA　(7)

が成り立ちます。

式(3), (6)より、△PFH≡△PQH*1なので、

∠FPH = ∠QPH　(8)
PH⊥FQ　(9)

となります。

式(8)は、

∠FPH = ∠QPHの対頂角

でもあるので、
線分FP, F'Pが直線PHとなす角は等しい　(9)
ということになります。

さて、ここで直線PHとは何か、が気になります。

• 点Pは双曲線上の点である
• 点Pを除く直線PH上の点は、全て双曲線の外側にある

ので、

直線PHは点Pにおける双曲線の接線である
ということが分かります。
したがって、
FP, F'Pが接線となす角の大きさが等しい
ことが分かります。

なお、式(7), (9)より、

3点A, B, Hは中心をOとする同一円周上にある
ことが分かります。
これより、

双曲線の焦点から接線に垂直を下ろすと、
その足は双曲線の2頂点を直径とする円周上にある

ということが分かります。
双曲線と楕円は、表裏をなしています。

*1:合同を示すのに必要なもうひとつの条件は「PHは共通」です。