本稿では、関数の凹凸についてみていきます。
上に凸
曲線PQが弦PQよりも上にある場合、「上に凸」といいます。
2階導関数と凹凸
2階導関数$f''(x)$と関数の凹凸には、次の関係があります。
区間$I$において
証明の下準備
1階導関数$f'(x)$が単調に変化する区間$I$において、曲線上に次の3点を任意に定めます。
\begin{eqnarray}
& \mathrm{P} & (x_1, y_1) \\
& \mathrm{Q} & (x_2, y_2) \\
& \mathrm{R} & (x,y) & \quad (x_1 < x < x_2)
\end{eqnarray}
平均値の定理
平均値の定理 - 数式で独楽する
により、
\begin{eqnarray}
\frac{y - y_1}{x - x_1} &=& f'(c) \quad (x_1 < c < x) \tag{1} \\
\frac{y_2 - y}{x_2 - x} &=& f'(d) \quad (x < d < x_2) \tag{2}
\end{eqnarray}を満たす$c,d$が存在します。
(i) f''(x) > 0 ⇒下に凸 の証明
\begin{equation}
f''(x) > 0 \tag{3}
\end{equation}の場合、は単調増加です。$c < d$なので
\begin{equation}
f(c) < f(d) \tag{4}
\end{equation}となります。
式(1)~(4)より
\begin{equation}
\frac{y - y_1}{x - x_1} < \frac{y_2 - y}{x_2 - x} \tag{5}
\end{equation}を得ます。
ここで、$x_1 < x < x_2$を踏まえて式(5)を変形していくと、
\begin{eqnarray}
(x_2 - x)(y - y_1) &<& (x - x_1)(y_2 - y) \\
x_2 y - x_2 y_1 - xy + xy_1 &<& xy_2 - xy - x_1 y_2 + x_1 y \\
(x_2 - x_1)y &<& (y_2 - y_1)x + x_2 y_1 - x_1 y_2 \\
(x_2 - x_1)y &<& (y_2 - y_1)x + x_2 y_1 - x_1 y_1 - x_1 y_2 + x_1 y_1 \\
(x_2 - x_1)(y - y_1) &<& (y_2 - y_1)(x - x_1) \\
y - y_1 &<& \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1) \tag{6}
\end{eqnarray}を得ます。
式(6)は、曲線上の点Rが、弦PQ
\begin{equation}
y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1)
\end{equation}よりも下にあることを示しています。
つまり、
ということです。これで、
であることを示すことができました。
(ii) 下に凸 ⇒ f''(x) > 0 の 証明
関数が下に凸である場合、
前項(i)の流れを逆に辿れば、(8)から式(3)
\begin{equation}
f''(x) > 0 \tag{3}
\end{equation}を導くことができます。
(iii) f''(x) < 0 ⇒ 上に凸 の証明
\begin{equation}
f''(x) < 0 \tag{3'}
\end{equation}の場合、
の関係はそのままで、他の不等号は全て逆向きにして前項(i)を辿れば、
であることを示すことができます。
(iv) 上に凸 ⇒ f''(x) < 0 の証明
関数が上に凸である場合、
前項(ii)と同様にすると
\begin{equation}
f''(x) < 0 \tag{3'}
\end{equation}を示すことができます。
