一次変換～直線と線分の変換

直線の変換

正則な*1一次変換$f$は、直線を直線に変換します。

直線をベクトルで記述すると、
\begin{equation}
\boldsymbol{x} = \boldsymbol{a} +t \boldsymbol{u} \tag{1}
\end{equation}です。ここで、

• : 直線上の点の位置ベクトル
• : 定点の位置ベクトル
• : 直線の方向ベクトル
• : 媒介変数

です。

変換すると、一次変換の線型性により、
\begin{eqnarray}
f(\boldsymbol{x}) &=& f(\boldsymbol{a} + t \boldsymbol{u}) \\
&=& f(\boldsymbol{a}) + t \, f(\boldsymbol{u})
\end{eqnarray}となります。
https://toy1972.hatenablog.com/entry/2019/10/03/203130:title:w300

ここで、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x}' &=& f(\boldsymbol{x}) \\
\boldsymbol{a}' &=& f(\boldsymbol{a}) \\
\boldsymbol{u}' &=& f(\boldsymbol{u})
\end{eqnarray}とすると、
\begin{equation}
\boldsymbol{x}' = \boldsymbol{a}' +t \boldsymbol{u}' \tag{2}
\end{equation}を得ます。
つまり、正則な一次変換により、直線は直線に変換されることが分かります。

線分の変換

正則な一次変換$f$は、線分を線分に変換します。

式(1), (2)において、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{u} &=& \boldsymbol{b} - \boldsymbol{a} \\
\boldsymbol{b}' &=& f(\boldsymbol{b})
\end{eqnarray}とすると、変換前後の直線は、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x} &=& (1 -t)\boldsymbol{a} + t \boldsymbol{b} \tag{3} \\
\boldsymbol{x}' &=& (1 -t)\boldsymbol{a}' + t \boldsymbol{b}' \tag{4}
\end{eqnarray}と表すことができます。

媒介変数がのとき、は、を両端とする線分を表します。
つまり、正則な一次変換により、線分は線分に変換されることが分かります。

分点の変換

正則な一次変換$f$は、線分の分点を比を変えずに変換します。

式(3)は、

• がをに分ける点にある

ことを表します。

• の場合は内分
• の場合は外分

です。

式(3), (4)から、正則な一次変換により、線分の分点は比を変えずに変換されることが分かります。

*1:逆変換が存在するという意味です。