放物線の焦点には次のような性質があります。
放物線状の鏡がある。
軸に平行に光を入射すると、焦点に達する。
幾何学的に言い換えると、次のようになります。
放物線上の点P、焦点Fおよび点Pから準線に下ろした垂線の足Hについて、線分FP, HPはそれぞれ点Pにおける放物線の接線と等しい角をなす。
パラボラアンテナ - 数式で独楽する
では、このことを代数的に導きましたが、本稿では視点を変えて考えていきます。
まず、
- F : 放物線の焦点
- P : 放物線上の任意の点
- H : 点Pより準線に下ろした垂線の足
とします。式で書くと、
PF = PH (1)
です。△PFHは二等辺三角形です。ここで、点Pから線分FHに垂直を下ろし、足をQとします。
PQ⊥FH (2)
です。すると、式(1), (2)より△PFH≡△QPH*1なので、
∠FPQ = ∠HPQ (3)
となります。式(3)は、
∠FPQ = ∠HPQの対頂角
でもあるので、ということになります。
さて、ここで直線PQとは何か、が気になります。
- 点Pは放物線上の点である
- 点Pを除く直線PQ上の点は、全て放物線の外側にある
ので、
ということが分かります。
したがって、
ことが分かります。
*1:直角三角形の合同です。もうひとつの条件は「PQは共通」です。
