2次曲線を極座標系で表示することを考えます。
と同じことを極座標系で考えていきます。
焦点を原点とする極座標系を考えます。
準線は焦点より2f離れた位置にあります。
図に示すようにPF = rとします。
点Pから準線lに下ろした垂線の足をHとしたとき、
\begin{equation}
\mathrm{PH} = r \cos \theta + 2f
\end{equation}です。
\begin{equation}
e \mathrm{PH} = \mathrm{PF}
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
e(r \cos \theta + 2f) = r
\end{equation}です。これをrについて解くと、
\begin{equation}
r = \frac{2ef}{1 - e \cos \theta} \tag{1}
\end{equation}となります。
この式(1)の1本で、楕円、放物線、双曲線を表すことができます。
先の記事
直線までの距離と定点までの距離の比が等しいの点の集合 - 数式で独楽する
で示した
は、式(1)を用いて作っています。
離心率eを0に近付けるととなります。
式(1)で、
\begin{equation}
ef = 一定
\end{equation}としてとすると、
\begin{equation}
r =一定
\end{equation}すなわち、式(1)の軌跡は、半径が縮退せずに真円に近付きます。
