任意の整数
に対し、
は9で割り切れることを示せ。
解答例
を9で割った余りは次の通りです。
\begin{array}{ccc}
\hline
n && n^3 \\ \hline
0 && 0 \\
1 && 1 \\
2 && 8 \\
3 && 0 \\
4 && 1 \\
5 && 8 \\
6 && 0 \\
7 && 1 \\
8 && 8 \\ \hline
\end{array}
これより、
\begin{eqnarray}
n^3 -n &=& n^3 (n^6 -1) \\
&=& (n^3 -1) \, n^3(n^3 +1) \\
& \equiv & 0 \mod 9
\end{eqnarray}となります。
よって、題意は証明されました。
解説
の形のまま攻めると泣きを見ます。
因数分解してみると、かなり見通しが立ちます。
余りで分類すると物凄く簡潔になります。
