正規分布の理解のための準備

円周率とネイピア数の不思議な関係 - 数式で独楽する
で、円周率とネイピア数について、
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} \tag{1.1}
\end{equation}という関係があることを述べました。
本稿では、正規分布の平均と分散を求めるため、幾つかの定積分について求めていきます。

まず、 $x$ を乗じて積分したものです。
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty x \, e^{-x^2} dx = 0 \tag{1.2}
\end{equation}です。
積分記号の中は奇関数であり、定積分の値は0になります。

もう少し厳密にいきます。積分区間を $(-a,b)$ とし、別個に $a \to \infty, \ b \to \infty$ とすると
\begin{eqnarray}
\int_{-a}^b x \, e^{-x^2} \, dx &=& \left[ -\frac{1}{2} \, e^{-x^2} \right]_{-a}^b \\
&=& -\frac{1}{2} \left( e^{-a^2} -e^{-b^2} \right) \\
&\to & -\frac{1}{2} \, (0 -0) \\
&=& 0
\end{eqnarray}となり*1、式(1.2)が成り立つことが分かります。

次は、 $x^2$ を乗じて積分したものです。
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-x^2} dx &=& \left[ -\frac{1}{2} \, x \, e^{-x^2} \right]_{-\infty}^\infty + \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx \\
&=& 0 + \frac{\sqrt{\pi}}{2} \\
&=& \frac{\sqrt{\pi}}{2} \tag{1.3}
\end{eqnarray}

式(1.1)~(1.3)において、 $x$ を $\displaystyle \frac{x}{\sqrt{2}}$ に置き換えると、
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{x^2}{2}$}} dx &=& 1 \tag{2.1} \\
\int_{-\infty}^\infty x \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{x^2}{2}$}} \right) dx &=& 0 \tag{2.2} \\
\int_{-\infty}^\infty x^2 \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{x^2}{2}$}} \right) dx &=& 1 \tag{2.3}
\end{eqnarray}となります。

さらに、 $\displaystyle \frac{x -m}{\sigma}$ で置き換えると、
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{(x -m)^2}{2 \sigma^2}$}} dx &=& 1 \tag{3.1} \\
\int_{-\infty}^\infty x \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{(x -m)^2}{2 \sigma^2}$}} \right) dx
&=& m \tag{3.2} \\
\int_{-\infty}^\infty x^2 \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{(x -m)^2}{2 \sigma^2}$}} \right) dx &=& \sigma^2 + m^2 \tag{3.3}
\end{eqnarray}となります。*2 *3

*1:\begin{equation} \left( e^{-x^2} \right) = e^{-x^2} (-2x^2) = -2x \, e^{-x^2} \end{equation}です。

*2:式(3.2)の式変形は、 \begin{eqnarray} &&\int_{-\infty}^\infty x \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{(x -m)^2}{2 \sigma^2}$}} \right) dx \\ &&= \int_{-\infty}^\infty (x -m) \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{(x -m)^2}{2 \sigma^2}$}} \right) dx + m \int_{-\infty}^\infty \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{(x -m)^2}{2 \sigma^2}$}} \right) dx \\ && = 0 + m \\ && = m \end{eqnarray}です。

*3:式(2.3)から(3.3)への式変形は、2段階に分けると分かり易いでしょう。まず、式(2.3)で $x \to \displaystyle \frac{x}{\sigma}$ と置き換えると、 \begin{equation} \int_{-\infty}^\infty x^2 \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{x^2}{2 \sigma^2}$}} \right) dx = \sigma^2 \end{equation}となります。さらに $x \to x -m$ と置き換えると、 \begin{eqnarray} &&\int_{-\infty}^\infty x^2 \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{(x -m)^2}{2 \sigma^2}$}} \right) dx \\ &&= \int_{-\infty}^\infty (x -m)^2 \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{(x -m)^2}{2 \sigma^2}$}} \right) dx \\ && \quad + 2m \int_{-\infty}^\infty x \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{(x -m)^2}{2 \sigma^2}$}} \right) dx - m^2 \int_{-\infty}^\infty \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{(x -m)^2}{2 \sigma^2}$}} \right) dx \\ && = \sigma^2 + 2m^2 -m^2 \\ && = \sigma^2 + m^2 \end{eqnarray}を得ます。