京大 2012年理系第1問(1) - 数式で独楽する

$a$ が正の実数のとき、 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (1 +a^n )^{{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{1}{n}$}}}$ を求めよ。

解答例
解説

解答例

$0 < a \leqq 1$ の場合、
\begin{eqnarray}
& 1 < 1 +a^n \leqq 2 & \\
& 1 < (1 +a^n)^{{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{1}{n}$}}} \leqq 2^{{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{1}{n}$}}} &
\end{eqnarray}が成り立ちます。
$n \to \infty$ とすると、
\begin{equation}
2^{{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{1}{n}$}}} \to 1
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} (1 +a^n){{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{1}{n}$}}} = 1
\end{equation}となります。
数列の極限その2 はさみうちの原理 - 数式で独楽する
 関数の極限はさみうちの原理 - 数式で独楽する

$a > 1$ の場合、
\begin{eqnarray}
& a^n < 1 +a^n < 2a^n & \\
& a < (1 +a^n)^{{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{1}{n}$}}} < 2^{{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{1}{n}$}}} a &
\end{eqnarray}が成り立ちます。
$n \to \infty$ とすると、
\begin{equation}
2^{{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{1}{n}$}}} a \to a
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} (1 +a^n){{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{1}{n}$}}} = a
\end{equation}となります。

以上より、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} (1 +a^n)^{{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{1}{n}$}}} = \left \{ \begin{array}{cl}
1 & (0 < a \leqq 1) \\
a & (1 < a)
\end{array} \right.
\end{equation}となります。

解説

$a=1$ を境に状況が変わることはすぐ分かります。
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \left( 1 +\frac{1}{n} \right)^n = e
\end{equation}とは似て非なる形なのでこの式は使えません。注意が必要です。
ネイピア数 - 数式で独楽する
ここでははさみうちの原理を用いて極限を求めています。